Aparte de la necesidad en el cálculo de raíces de polinomios cúbicos, existe otro papel más fundamental que juegan los números complejos en las ecuaciones polinomiales, que recién comenzaba a ser apreciado en el siglo XVII, este papel se expresa a través de teorema fundamental del álgebra , que dice que cualquier ecuación polinomial no constante tiene al menos una raíz, si permitimos que los números complejos sean raíces, es decir, si $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ son números reales tales que al menos uno de $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ es distinto de cero, entonces la ecuación \ begin {ecuación} \ label {e: polyinomial-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {ecuación} tiene una solución, siempre que $ x $ pueda tener valores complejos. Si $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , entonces la ecuación $ p (x) = 0 $ se convierte en $ a_0 = 0 $, que no tiene ninguna solución (compleja) cuando $ a_0 \ neq0 $. Entonces, la condición de que al menos uno de $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ es distinto de cero (es decir, $ p (x) $ no es constante) es simplemente para descartar este caso trivial. del álgebra es milagroso porque los números complejos están diseñados para resolver cualquier ecuación cuadrática, y es a priori concebible que necesitemos introducir un nuevo tipo de "número" cada vez que aumentamos el grado de una ecuación polinomial La primera formulación del teorema fundamental del álgebra fue dada por Albert Girard (1595-1632) en 1629, aunque no intentó demostrarlo; de hecho, las pruebas rigurosas de este teorema no aparecieron hasta principios del siglo XIX, lo que por cierto marca el comienzo de una era en la que la existencia y la utilidad de los números complejos fueron ampliamente aceptadas.
Cualquier duda sobre la existencia y la importancia de los números complejos se descartó por completo después del desarrollo del análisis complejo , que también se conoce como teoría de funciones .La motivación inicial para estudiar funciones de una variable compleja era utilizarlas para calcular (o simplificar) integrales reales definidas,
Euler y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) (1736-1813) hacia 1760-1780 realizaron trabajos pioneros en esta dirección, y su investigación fue retomada más tarde en la década de 1810 por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), quien se dio cuenta en 1821 de que Las funciones complejas tienen una rica teoría propia. Gauss alcanzó el mismo entendimiento ya en 1811 y jugó un papel importante en la popularización de los números complejos, pero no contribuyó directamente al desarrollo del análisis complejo. Así, aproximadamente entre 1820-1850, Cauchy desarrolló sin ayuda todos los resultados básicos del análisis complejo, quizás con la excepción de la serie Laurent, que apareció por primera vez en un artículo presentado por Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) en 1843.