Andreas Leitgeb
2018-09-06 10:26:21 UTC
Angenommen, ich habe zwei Mengen A und B:
1) wenn es eine Bijektion von A nach B (und somit auch
umgekehrt) gibt, sind A und B per definitionem(?)
gleichmächtig.
2) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine weitere
Injektion von B nach A gibt, müssten(?) A und B
eigentlich auch gleichmächtig sein.
3) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine Surjektion
von A nach B gibt, müssten(?) A und B eigentlich auch
gleichmächtig sein.
Für "2)" schien es nach meiner internet-Recherche so, als
wäre Gleichmächtigkeit eigentlich nur auf Basis der Halb-
ordnung "nicht höhermächtig" ("A ist nicht höhermächtig als
B :<=> E f: f ist injektive Fkt von A nach B") definiert.
Demnach wäre "2)" dann "per definitionem" und "1)" ein
triviales Korrolar von "2)".
Jene Beweise, die ich im Netz für "3)" so gefunden habe,
verwendeten aber das Auswahlaxiom (und waren somit von
der zornigen Lemone abhängig - soviel zum Betreff).
Jetzt würde ich gerne wissen, ob 2) tatsächlich näher an der
offiziellen Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen dran
ist, und ob 3) auch ohne Abhängigkeit vom Auswahlaxiom
beweisbar wäre.
1) wenn es eine Bijektion von A nach B (und somit auch
umgekehrt) gibt, sind A und B per definitionem(?)
gleichmächtig.
2) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine weitere
Injektion von B nach A gibt, müssten(?) A und B
eigentlich auch gleichmächtig sein.
3) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine Surjektion
von A nach B gibt, müssten(?) A und B eigentlich auch
gleichmächtig sein.
Für "2)" schien es nach meiner internet-Recherche so, als
wäre Gleichmächtigkeit eigentlich nur auf Basis der Halb-
ordnung "nicht höhermächtig" ("A ist nicht höhermächtig als
B :<=> E f: f ist injektive Fkt von A nach B") definiert.
Demnach wäre "2)" dann "per definitionem" und "1)" ein
triviales Korrolar von "2)".
Jene Beweise, die ich im Netz für "3)" so gefunden habe,
verwendeten aber das Auswahlaxiom (und waren somit von
der zornigen Lemone abhängig - soviel zum Betreff).
Jetzt würde ich gerne wissen, ob 2) tatsächlich näher an der
offiziellen Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen dran
ist, und ob 3) auch ohne Abhängigkeit vom Auswahlaxiom
beweisbar wäre.