coordinate e manifold

[ngs]

Nella definizione di un manifold n-dimensionale topologico/smooth si
richiede che vi sia una collezione finita di chart (U, phi), dove U è un
aperto del manifold e phi:U->R^n è un omeomorfismo da U a un aperto di R^n.
Nel libro "Manifolds, Tensors and Forms" di Renteln, si dice che se
phi(p) = q, allora non ha senso parlare di coordinate di p perché è q a
trovarsi in R^n e non p. In altre parole, le coordinate x^1, ..., x^n
sono funzioni da R^n ad R e non da U ad R.
Però c'è qualcosa che non mi torna, perché R^n è un prodotto cartesiano
quindi phi è già una n-pla di funzioni U->R, senza bisogno di stabilire
alcuna base per R^n.
In altre parole, secondo me phi /è/ la funzione delle coordinate e x^i =
phi^i. Usare un altro sistema di coordinate dovrebbe corrispondere a
usare un'altra phi, non la stessa phi con altre coordinate per R^n.
Cosa ne pensate?

Kiuhnm

[ngs]

Post by ngs
Nella definizione di un manifold n-dimensionale topologico/smooth si
richiede che vi sia una collezione finita di chart (U, phi), dove U è un
aperto del manifold e phi:U->R^n è un omeomorfismo da U a un aperto di R^n.
Nel libro "Manifolds, Tensors and Forms" di Renteln, si dice che se
phi(p) = q, allora non ha senso parlare di coordinate di p perché è q a
trovarsi in R^n e non p. In altre parole, le coordinate x^1, ..., x^n
sono funzioni da R^n ad R e non da U ad R.
Però c'è qualcosa che non mi torna, perché R^n è un prodotto cartesiano
quindi phi è già una n-pla di funzioni U->R, senza bisogno di stabilire
alcuna base per R^n.
In altre parole, secondo me phi /è/ la funzione delle coordinate e x^i =
phi^i. Usare un altro sistema di coordinate dovrebbe corrispondere a
usare un'altra phi, non la stessa phi con altre coordinate per R^n.
Cosa ne pensate?

Secondo me molti autori scrivono \mathbb{R}^n, ma intendono
\mathbf{R}^n, cioè lo spazio vettoriale isomorfo a \mathbb{R}^n. Di
solito non mi curo di queste sottigliezze, ma quando è qualcun altro a
fare questa distinzione, vorrei che almeno fosse fatta correttamente.

Kiuhnm

[ngs]

Post by ngs
Nella definizione di un manifold n-dimensionale topologico/smooth si
richiede che vi sia una collezione finita di chart (U, phi), dove U è un
aperto del manifold e phi:U->R^n è un omeomorfismo da U a un aperto di R^n.
Nel libro "Manifolds, Tensors and Forms" di Renteln, si dice che se
phi(p) = q, allora non ha senso parlare di coordinate di p perché è q a
trovarsi in R^n e non p. In altre parole, le coordinate x^1, ..., x^n
sono funzioni da R^n ad R e non da U ad R.
Però c'è qualcosa che non mi torna, perché R^n è un prodotto cartesiano
quindi phi è già una n-pla di funzioni U->R, senza bisogno di stabilire
alcuna base per R^n.
In altre parole, secondo me phi /è/ la funzione delle coordinate e x^i =
phi^i. Usare un altro sistema di coordinate dovrebbe corrispondere a
usare un'altra phi, non la stessa phi con altre coordinate per R^n.
Cosa ne pensate?

Casomai interessasse a qualcuno, dopo una lunga discussione su un forum
inglese, sono giunto alla conclusione che identificare phi^i con x^i
crea solo problemi dal punto di vista formale. E' molto meglio definire
phi^i come x^i \circ phi (cioè x^i composto phi).

Kiuhnm

[ngs]

Post by ngs

Post by ngs
Nella definizione di un manifold n-dimensionale topologico/smooth si
richiede che vi sia una collezione finita di chart (U, phi), dove U è
un aperto del manifold e phi:U->R^n è un omeomorfismo da U a un aperto
di R^n.
Nel libro "Manifolds, Tensors and Forms" di Renteln, si dice che se
phi(p) = q, allora non ha senso parlare di coordinate di p perché è q
a trovarsi in R^n e non p. In altre parole, le coordinate x^1, ...,
x^n sono funzioni da R^n ad R e non da U ad R.
Però c'è qualcosa che non mi torna, perché R^n è un prodotto
cartesiano quindi phi è già una n-pla di funzioni U->R, senza bisogno
di stabilire alcuna base per R^n.
In altre parole, secondo me phi /è/ la funzione delle coordinate e x^i
= phi^i. Usare un altro sistema di coordinate dovrebbe corrispondere a
usare un'altra phi, non la stessa phi con altre coordinate per R^n.
Cosa ne pensate?

Casomai interessasse a qualcuno, dopo una lunga discussione su un forum
inglese, sono giunto alla conclusione che identificare phi^i con x^i
crea solo problemi dal punto di vista formale. E' molto meglio definire
phi^i come x^i \circ phi (cioè x^i composto phi).

O anche phi^i = phi^*x^i, per usare un pull-back.
Ho sempre odiato il fatto che la composizione sembri scritta al
contrario. Mi sa che inizierò a usare pull-back ovunque, a modo di
"composizione per gente normale".
In alcuni linguaggi funzionali, tipo elixir, il pull-back è il simbolo "|>".

Kiuhnm

[Gianluca]

Post by ngs
O anche phi^i = phi^*x^i, per usare un pull-back.
Ho sempre odiato il fatto che la composizione sembri scritta al
contrario. Mi sa che inizierò a usare pull-back ovunque, a modo di
"composizione per gente normale".
In alcuni linguaggi funzionali, tipo elixir, il pull-back è il simbolo "|>".
Kiuhnm

A proposito di gente normale: da tempo ho iniziato dei libri
introduttivi sul calcolo tensoriale (non specialistici come quelli sui
quali studi tu) ma sono aperti ancora alle prime pagine.

Siccome non ho capito nulla sulle notazioni che usi, casomai mi servisse
in un prossimo futuro, potresti tradurre tutte quelle notazioni in
formule leggibili? Magari postando una foto delle formule che intendi,
ma scritte a mano.
Grazie.


Gianluca

[ngs]

Post by Gianluca
A proposito di gente normale: da tempo ho iniziato dei libri
introduttivi sul calcolo tensoriale (non specialistici come quelli sui
quali studi tu) ma sono aperti ancora alle prime pagine.
Siccome non ho capito nulla sulle notazioni che usi, casomai mi servisse
in un prossimo futuro, potresti tradurre tutte quelle notazioni in
formule leggibili? Magari postando una foto delle formule che intendi,
ma scritte a mano.
Grazie.

Chiedi troppo. Le formule sono scritte in LaTeX semplificato come si usa
sui ng.

Kiuhnm

[Elio Fabri]

In mancanza di meglio, fornisco un contributo di esiguo valore.
In italiano "manifold" si dice "varietà".
Se volete, vi dico anche come si dice in tedesco :-)

[JTS]

Post by ngs

Post by Gianluca
A proposito di gente normale: da tempo ho iniziato dei libri
introduttivi sul calcolo tensoriale (non specialistici come quelli sui
quali studi tu) ma sono aperti ancora alle prime pagine.
Siccome non ho capito nulla sulle notazioni che usi, casomai mi
servisse in un prossimo futuro, potresti tradurre tutte quelle
notazioni in formule leggibili? Magari postando una foto delle formule
che intendi, ma scritte a mano.
Grazie.

Chiedi troppo. Le formule sono scritte in LaTeX semplificato come si usa
sui ng.
Kiuhnm

Se non riesci a leggere le formule semplici scritte in LaTeX (quelle
complicate forse riesce a leggerle solo Cedric Villani) puoi andare qui

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

e incollarle.

Kiuhnm non mette il backslash prima delle lettere greche, quindi ce lo
devi aggiungere tu:

\phi

[ngs]

Post by Gianluca
A proposito di gente normale: da tempo ho iniziato dei libri
introduttivi sul calcolo tensoriale (non specialistici come quelli sui
quali studi tu) ma sono aperti ancora alle prime pagine.
Siccome non ho capito nulla sulle notazioni che usi, casomai mi servisse
in un prossimo futuro, potresti tradurre tutte quelle notazioni in
formule leggibili? Magari postando una foto delle formule che intendi,
ma scritte a mano.
Grazie.

Se vuoi un po' di notazione, vedi qui:

https://www.physicsforums.com/threads/differential-forms-and-bases.961580/

Kiuhnm

[uno_tantum]

Post by ngs
Cosa ne pensate?

Che devi chiarirti e assimilare il linguaggio. Provo un cenno.
(Conosci Spivak? anni 60-70, vecchio ma buono).

Post by ngs
Nella definizione di un manifold n-dimensionale topologico/smooth si

Consideriamo uno /spazio topologico/ M (la sua definizione, o la
sai, o non la sai e devi guardartela). Nel seguito sembra proprio
che, per M, dai la definizione di /spazio localmente euclideo/
(che nel seguito do con gli assiomi a, b).

Post by ngs
richiede che vi sia una collezione finita di chart (U, phi), dove U è un
aperto del manifold e phi:U->R^n è un omeomorfismo da U a un aperto di R^n.
Nel libro "Manifolds, Tensors and Forms" di Renteln, si dice che se
phi(p) = q, allora non ha senso parlare di coordinate di p perché è q a
trovarsi in R^n e non p. In altre parole, le coordinate x^1, ..., x^n
sono funzioni da R^n ad R e non da U ad R.
Però c'è qualcosa che non mi torna, perché R^n è un prodotto cartesiano
quindi phi è già una n-pla di funzioni U->R, senza bisogno di stabilire
alcuna base per R^n.
In altre parole, secondo me phi /è/ la funzione delle coordinate e x^i =
phi^i. Usare un altro sistema di coordinate dovrebbe corrispondere a
usare un'altra phi, non la stessa phi con altre coordinate per R^n.

a) M e' uno spazio topologico /separato/ e /connesso/.
b) Per ogni punto P di M esiste un aperto U omeomorfo alla sfera
aperta D dello spazio euclideo R_n.

L'omeomorfismo e' phi: U -> D c R_n (c = compreso in).

Tale omeomorfismo da' luogo, per ogni coppia (U, phi), ad un
/sistema coordinato/ definito in U.

Tale sistema coordinato costituisce una carta locale di M, U e' il
dominio della carta.

Per tradurre la corrispondenza puntuale U -> D in termini
cartesiani, devi fissare ad arbitrio un riferimento cartesiano
in R_n. Allora ai punti P di U puoi associare le coordinate x^i
(i = 1..n) dei punti x di D, corrispondenti di P secondo phi.

Ciao e spero che ti possa un po' servire

[ngs]

Post by uno_tantum

Post by ngs
Cosa ne pensate?

Che devi chiarirti e assimilare il linguaggio. Provo un cenno.
(Conosci Spivak? anni 60-70, vecchio ma buono).

Post by ngs
Nella definizione di un manifold n-dimensionale topologico/smooth si

Consideriamo uno /spazio topologico/ M (la sua definizione, o la
sai, o non la sai e devi guardartela). Nel seguito sembra proprio
che, per M, dai la definizione di /spazio localmente euclideo/
(che nel seguito do con gli assiomi a, b).

Post by ngs
richiede che vi sia una collezione finita di chart (U, phi), dove U è un
aperto del manifold e phi:U->R^n è un omeomorfismo da U a un aperto di R^n.
Nel libro "Manifolds, Tensors and Forms" di Renteln, si dice che se
phi(p) = q, allora non ha senso parlare di coordinate di p perché è q a
trovarsi in R^n e non p. In altre parole, le coordinate x^1, ..., x^n
sono funzioni da R^n ad R e non da U ad R.
Però c'è qualcosa che non mi torna, perché R^n è un prodotto cartesiano
quindi phi è già una n-pla di funzioni U->R, senza bisogno di stabilire
alcuna base per R^n.
In altre parole, secondo me phi /è/ la funzione delle coordinate e x^i =
phi^i. Usare un altro sistema di coordinate dovrebbe corrispondere a
usare un'altra phi, non la stessa phi con altre coordinate per R^n.

a) M e' uno spazio topologico /separato/ e /connesso/.
b) Per ogni punto P di M esiste un aperto U omeomorfo alla sfera
aperta D dello spazio euclideo R_n.
L'omeomorfismo e' phi: U -> D c R_n (c = compreso in).
Tale omeomorfismo da' luogo, per ogni coppia (U, phi), ad un
/sistema coordinato/ definito in U.
Tale sistema coordinato costituisce una carta locale di M, U e' il
dominio della carta.
Per tradurre la corrispondenza puntuale U -> D in termini
cartesiani, devi fissare ad arbitrio un riferimento cartesiano
in R_n. Allora ai punti P di U puoi associare le coordinate x^i
(i = 1..n) dei punti x di D, corrispondenti di P secondo phi.
Ciao e spero che ti possa un po' servire

Il mio dubbio (e confusione) veniva dal fatto che in pratica si
commettono abusi di notazione identificando x^i con phi^i. Chiariti i
dubbi ho iniziato però a chiedermi se dovessero essere necessariamente
abusi o se fosse possibile usare definizioni diverse. Se si usa la
definizione che hai dato tu, che è quella ufficiale, lo sono.
La conclusione a cui sono giunto (assieme ad altri) è che questa è la
definizione più pulita e quindi identificare x^i con phi^i è meglio che
rimanga un abuso. Un altro abuso simile è quello di identificare le
coordinate con la mappa del pullback e ve ne sono tanti altri. Le
espressioni vengono insomma scritte come se le coordinate su R^n fossero
invece su U. La cosa interessante è che questi abusi sono utilizzati da
tutti, ben sapendo che sono abusi. E' semplicemente un fatto di
comodità. Penso sia identico a quello che fanno i fisici quando
identificano le variabili con le funzioni.

Kiuhnm