Siegfried Neubert
2020-03-03 19:08:55 UTC
Ich denke ihr könntet die nachfolgende Aufgabe schon kennen.
Aber ich habe eine spezielle Frage!
Ich tüftetle vor einiger Zeit an folgender Denksportaufgabe:
Ein Seil ist straff um den Äquator gespannt.
Der Einfachheit halber kann man annehmen, daß die Erde
eine glatte Kugel sei mit einem Radius von 6378,5 km.
Man verlängere nun das Seil um einen (!) Meter
und stelle einen Stab zwischen Erde und Seil,
so daß das Seil gerade wieder straff gespannt ist.
Frage: wie lang ist der Stab?
Lösung:
Sei r der Erdradius, h die Länge es Stabes,
l die Länge des Seilstücks von der Spitze des Stabes (S)
zu dem Punkt am Rand der Erde (T), von dem es sich tangential abhebt
(und mit dem vom Mittelpunkt der Erde(M) hinzeigenden
"Erdradiusvektor" einen rechten Winkel bildet).
Alfa (a) sei der Winkel zwischen den Strecken (MS) und (MT).
Wir betrachten also das rechtwinklige Dreieck (MST)!
Es gilt (Pythagoras, Symmetrie, Umfang u. Winkel am Kreis, ...):
l = a*r +0,5 und (r+h)^2 -r^2 = l^2 und tg(a) = l/r
Damit hat man l= r*tg(a) = a*r +0,5
oder: y(a) := tg(a) - a - 0,5/r != 0 zur Bestimmung von alfa!
Das geht z.B. itterativ nach Newton a := a -y(a)/y'(a),
wobei y'(a) = 1 + (tg(a))^2 -1 = ( tg(a) )^2,
und liefert mit einem natürlich kleinen Näherungswert (0,1)
_nach 10 Schritten_
für a = 0,00617242, und damit l = 39371,271, also h = 121,508.. Meter!
Das finde ich schon mal überraschend!
Wenn man aber weiß, daß der Winkel alfa klein ist,
kann man natürlich auch mit etwas Näherungsrechnung an's Ziel kommen:
Es gilt für die Reihenentwicklung von tg() bzw. cos(), wenn a << 1,
da dann der nächste Term noch viel kleiner ist:
tg(a) = a + 1/3*a^3 + ... und cos(a) = 1 -1/2*a^2 + ...
also: tg(a) = l/r = (a*r +0,5) = a + 0,5/r = a + 1/3*a^3, oder: a^3 = 3/(2r),
und: cos(a) = r/(r+h) = 1/(1+h/r) ~ 1 - h/r ~ 1 - 1/2*a^2, oder: a^2 = 2h/r (*).
Also: a^6 = 9 / (4r^2) = 8h^3 / r^3 oder: h^3 = 9r/32 und
damit h= 121,507... Meter! Siehe oben!
Nun muß ich als Ausdruck meines - im Ergebnis -ö Unverständnisses erklären,
dass man auch anders rechnen kann:
Denn es gilt auch: (r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = ...
... = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~= 2hr + sqrt(2hr),
weil doch (s.o.(*)) a²=2hr oder a²r²= 2hr
also: h^2 = sqrt(2hr) oder h^3 = 2r und damit h~ 233,7 Meter!
Weiß jemand warum?
VG Siggi N.
Aber ich habe eine spezielle Frage!
Ich tüftetle vor einiger Zeit an folgender Denksportaufgabe:
Ein Seil ist straff um den Äquator gespannt.
Der Einfachheit halber kann man annehmen, daß die Erde
eine glatte Kugel sei mit einem Radius von 6378,5 km.
Man verlängere nun das Seil um einen (!) Meter
und stelle einen Stab zwischen Erde und Seil,
so daß das Seil gerade wieder straff gespannt ist.
Frage: wie lang ist der Stab?
Lösung:
Sei r der Erdradius, h die Länge es Stabes,
l die Länge des Seilstücks von der Spitze des Stabes (S)
zu dem Punkt am Rand der Erde (T), von dem es sich tangential abhebt
(und mit dem vom Mittelpunkt der Erde(M) hinzeigenden
"Erdradiusvektor" einen rechten Winkel bildet).
Alfa (a) sei der Winkel zwischen den Strecken (MS) und (MT).
Wir betrachten also das rechtwinklige Dreieck (MST)!
Es gilt (Pythagoras, Symmetrie, Umfang u. Winkel am Kreis, ...):
l = a*r +0,5 und (r+h)^2 -r^2 = l^2 und tg(a) = l/r
Damit hat man l= r*tg(a) = a*r +0,5
oder: y(a) := tg(a) - a - 0,5/r != 0 zur Bestimmung von alfa!
Das geht z.B. itterativ nach Newton a := a -y(a)/y'(a),
wobei y'(a) = 1 + (tg(a))^2 -1 = ( tg(a) )^2,
und liefert mit einem natürlich kleinen Näherungswert (0,1)
_nach 10 Schritten_
für a = 0,00617242, und damit l = 39371,271, also h = 121,508.. Meter!
Das finde ich schon mal überraschend!
Wenn man aber weiß, daß der Winkel alfa klein ist,
kann man natürlich auch mit etwas Näherungsrechnung an's Ziel kommen:
Es gilt für die Reihenentwicklung von tg() bzw. cos(), wenn a << 1,
da dann der nächste Term noch viel kleiner ist:
tg(a) = a + 1/3*a^3 + ... und cos(a) = 1 -1/2*a^2 + ...
also: tg(a) = l/r = (a*r +0,5) = a + 0,5/r = a + 1/3*a^3, oder: a^3 = 3/(2r),
und: cos(a) = r/(r+h) = 1/(1+h/r) ~ 1 - h/r ~ 1 - 1/2*a^2, oder: a^2 = 2h/r (*).
Also: a^6 = 9 / (4r^2) = 8h^3 / r^3 oder: h^3 = 9r/32 und
damit h= 121,507... Meter! Siehe oben!
Nun muß ich als Ausdruck meines - im Ergebnis -ö Unverständnisses erklären,
dass man auch anders rechnen kann:
Denn es gilt auch: (r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = ...
... = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~= 2hr + sqrt(2hr),
weil doch (s.o.(*)) a²=2hr oder a²r²= 2hr
also: h^2 = sqrt(2hr) oder h^3 = 2r und damit h~ 233,7 Meter!
Weiß jemand warum?
VG Siggi N.