Post by Martin VaethPost by Detlef MüllerDann ging es sogar stetig ... spätestens stückweise differenzierbare
Kurven können aber nicht mehr Flächenfüllend sein.
Ob nur "differenzierbar" (ohne "stetig") oder ev. sogar
"f.ü. differenzierbar" ausreichen könnte, ist mir unklar...
Die Antwort ist sehr interessant:
1. „Fast überall differenzierbar“ ist nicht ausreichend, auch nicht,
wenn man „fast überall“ als „co-mager“ interpretiert:
Ein Gegenbeispiel ist z.B. eine von Lebesgue konstruierte
flächenfüllende stetige Kurve, die nur auf der Cantor-Menge
nicht-differenzierbar ist.
2. „Überall differenzierbar“ ist hingegen massig ausreichend.
Es genügt sogar, dass in jedem Punkt jeweils mindestens eine der
Koordinatenfunktionen differenzierbar ist, und dass mindestens
eine der Koordinatenfunktionen Lebesgue-messbar ist:
Das Bild hat dann automatisch inneres Lebesgue-Maß 0.
Der Beweis zu 2. steht in
Morayne, Michał, On Differentiability of Peano Type Functions,
Coll. Math. 53, 1987(1), 129-132.
Obwohl der Beweis (mit Hilfssatz) weniger als 2 Seiten lang ist,
ist er dermaßen kompliziert (und verweist dabei auf tiefe
Ergebnisse aus den schwer zugänglichen Büchern von
Ryll-Nardzewski und Sierpinski), dass der Beweis zwar
in Lehrbüchern über raumfüllende Kurven und andere kuriose
Funktionen zitiert, aber anscheinend noch in keinem dieser
Bücher handlich aufbereitet wurde.
Es scheint auch kein kürzerer Beweis unter der stärkeren
Voraussetzung bekannt zu sein, dass beide Koordinatenfunktionen
überall differenzierbar sind.
3. Lässt man die Voraussetzung der Messbarkeit von einer
der beiden Koordinatenfunktionen weg, so ist die Existenz
einer flächenfüllenden Kurve wie in 2. äquivalent zur
Kontinuumshypothese. Ähnliches gilt für höhere Dimensionen.
Für abzählbare Dimensionen (Hilbertwürfel) hingegen geht
es selbst unter der Annahme der Kontinuumshypothese nicht mehr.
Ersteres wird ebenfalls in obiger Arbeit von Morayne bewiesen,
die letzte Aussage habe ich als Übungsaufgabe gefunden.