工程師真正使用哪種數學？

Question

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我來自數學StackExchange部分，我的很多學生都是大學的工程系學生。我想知道您真正的工程師會使用哪種演算？我認識兩個工程師。一個來自飛機設計，另一個來自計量學。前者很少使用微積分，有些ODE通過線性化具有恆定的係數。後者僅使用基本數學，而不使用微積分，並且具有一定的優勢。我想對任何工程專業的學生誠實，以使他們知道等待他們的是什麼。

還有一個後續問題。您發現約四個學期的微積分學法有益嗎？也許您不使用其中的任何內容，但是它確實可以增強您的數學推理能力，這對您的工程技能有積極的影響嗎？

Answer 1

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在我的土木工程學位中，我們使用ODE來分析力，力矩和撓度之間的關係。我不記得自己使用過PDE，但是我的姐夫（在另一所大學里當過平民）將它們用作液壓系統。

在現實生活中（作為橋樑設計師），我不記得了實際使用微積分。大學主要集中在所使用的理論和數學模型上，而在實際的工程設計中，我們擁有可以為我們完成所有計算的計算機軟件。

我認為理論和數學背景會帶來很多好處在大學裡-作為一名專業工程師，您需要具有基本的了解，才能知道該軟件是否為您提供了明智的答案。在實際設計中有很多。）

Answer 2

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我最初寫這封信是作為AndyT回答的附件，但為了回應dcorking的評論，我決定在此擴展。

我畢業了將近30年，我的經歷與AndyT相似。畢業後，我直接從事工業。自畢業以來，我和與我一起工作或與之合作過的每個人從未在工程師的日常工作中使用過演算，也從未使用過演算。我曾與之合作的工程師類型包括：土木，機械，通風，採礦，電氣和環境工程師。

在我的職業生涯中，我使用了三角函數，代數和統計數據，以及金融數學（NPV，IRR，等等）進行項目評估，可行性研究，有時甚至當我不得不編寫或審查資本支出的理由時。

當我進入現實世界時，工程師開始使用台式計算機。我早期的職業是紙上設計和計算機設計的混合體。最終，計算機佔據了主導地位，最終我將計算機設計軟件和電子表格用於我的工程和設計工作。

在大學裡學到的所有數學中，有三分之二到四分之三是我從未使用過的加工。從那以後，我意識到我需要學習的許多數學都是在教給我如何思考和解決問題的練習。我特別發現對我的職業無用，但必須學習的數學單位是特徵向量。我知道有些工程師發現本徵向量是必不可少的。參加考試後，這是我很高興忘記的一個單元！

工程課程需要得到專業工程學會的認可，因此，工程師需要學習很多數學，以防萬一。當學生開始他們的課程時，他們並不總是知道最終結局。

研究工程師和從事尖端高科技的人員會使用他們所學的更多數學和微積分。

我回想起我聽課時與另一位學生進行的一次交談，他說，他第一次使用微積分是在1950年代，當時他參與某些類型內燃機的設計。

關於工程師行業，他們很快就會成為經理-照顧人員，金錢和想法。微積分的背景知識很有用，但是如今計算機已經為我們完成了所有復雜的計算。我們插入數字並解釋結果。我們需要了解軟件工作方式的概念，以確保該軟件不會給我們帶來垃圾。這是工科學生需要學習數學的原因之一。

我回想起我還是學生的時候，參加過一次學生行業研討會，一位經驗豐富的工程師告訴大家，在大學期間，他們需要使用科學計算器，但是隨著他們事業的發展，最終他們將使用只有加，減，乘和除鍵的計算器。

Answer 3

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一點背景（誠實的披露）。我開始獲得理學學士/碩士學位在機甲工程中。在決定繼續攻讀一門理論性更高的學校的博士學位之前，先從一所相當實用/應用的學校畢業。結果，我並沒有聲稱自己是一名真正的工程師（我的一般經驗是，從事工程學的學者通常是中等水平的工程師），但是我有一些想法可能會有所幫助。

在我的研究中，我發現自己處理ODE，PDE，線性代數（既適用又抽象）。有時我不得不重新學習一開始就忘記或從未學習過的數學概念。無論您有多少學生進入學術界，都更有可能定期使用微積分。

在更多的應用活動中，例如諮詢項目或為完成比賽而建造賽車。儘管有時有用，但我發現對這些技能的需求要少得多。

在許多情況下，微積分對概念的價值大於對實際計算的價值。我想知道一個量是另一個量的整數，以便理解一個問題，但這並不意味著我實際上要坐下來將方程式與鉛筆和紙相結合。特別是，我認為了解微分方程的基本概念在許多學科（動力學系統，熱傳遞，電子學...）中都非常有價值。幾個原因（不完整的列表）：

• 許多實際問題可以通過較高數學的分析來解決。但是，一旦知道了解析解，就會將實際計算簡化為簡單算術。在某些情況下，使用給定的解決方案不僅容易，而且實際需要。對於各種規範和標準，如果工程師偏離了規定的計算程序，他們將承擔賠償責任。

• 解決問題的數字解決方案比分析解決方案越來越容易獲得併且更廣泛地應用。在整數，ODE，PDE，級數上拋出數值方法通常要容易得多，而不是試圖記住/推導解決方案。複雜的幾何形狀，非線性行為等通常意味著常規方法不切實際或不可能。而且，使用許多現代軟件，數學對於用戶是完全不可見的。我見過很少有經驗的一年級學生快速學習了在復雜負載情況下模擬應力並在非線性邊界條件（基本上不需要數學）的情況下計算瞬態熱傳導的工具。

• 工程中有大量的經驗數據。在某些情況下，實驗和經驗可能與數學一樣好或更好。我什至無法開始（從第一原理開始）計算兩種材料之間的摩擦係數，但我可以在書中查找或自己測量。

Answer 4

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這是從土木工程師的觀點來看。

工程師通常不使用高級數學，因為代碼規範是專門為避免這種情況而編寫的。您不希望建築物或橋樑發生故障，因為工程師沒有正確採用積分。在任何可能的情況下， hard 數學都簡化為簡化的方程式，圖表或圖形。這樣做是為了限制可能的錯誤源。

在將復雜的數學放入代碼中之前，已經完成並檢查了該數學。這樣，以後使用該代碼的工程師不必擔心它是正確的。通常，僅引用代碼就足以“證明”答案是正確的。

面向公眾的工程設計受代碼和規範的控制，因此在某些領域幾乎沒有什麼數學可做。答案在表格中。該表的設計可能需要大量的數學輸入和大學研究，但是開發了一個表是為了消除對每個項目都需要重做標準計算的需要。甚至在地震（地震）設計中也是如此。除非設計如此特殊，以致需要創建完整的計算機模型，否則土壤，結構和附近斷層之間的所有復雜相互作用都將減小為通過質心施加的簡單水平載荷。

建築規範和負載的不確定性要求與其他行業相比，安全係數要大一些。這意味著與精確數學解決方案相比，一種簡化的解決問題的方法對最終結果的影響不大。

工程師每天進行的大部分日常計算使用不同的輸入完成相同的公式集。這就是為什麼可以創建巨大的Excel電子表格來完成很多工作的原因。

這並不意味著高級數學及其背後的理論也沒有用。所有這些主題都有助於訓練工程師的思維以可視化實際發生的情況。關於數值模擬的話題與此相關。

Answer 5

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視您的看法而定，一無所獲。

以艱辛的方式做事，學習捷徑然後繼續學習高級教材的過程在大學期間一直重複著

例如，一旦我開始學習代數，就不再做乘法表。大學水平的數學是相同的方式。微積分之後，大多數工程師都採用微分方程。那時我真的停止了微積分的工作，開始依靠工具為我完成計算。

在控件工作中，我們使用了大量的Laplace變換來定義系統。雖然我從技術上了解拉普拉斯變換背後的全部理論，但近十年來我都沒有親手做過。我在他們中學到的所有知識都需要微積分的基礎。

編輯：類比。這就像問一個位於建築物14樓的人使用3樓多少次。可能永遠不會，但是如果沒有3樓，也將不會是14樓。

Answer 6

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我同意，正如在其他一些答案中所討論的那樣，大多數時候工程師不經常直接使用微積分（或其他高級數學）來完成日常工作。同時，對一個好的工程師來說，了解它是至關重要的。

我想補充一點，在當今時代，高級數學工具已經可以使用，足夠了解高級數學以有效地使用它可能會非常有幫助。例如，諸如Mathcad之類的程序允許用戶執行域的直接集成，而了解如何正確使用該域的工程師可以創建極其有效，準確且快速的工具來解決常規問題。

作為岩土工程師，我可能經常發現解決該問題最有用的一個問題是土壤層的主要沉降$ S_p $。沉降方程很簡單：

$$ S_p = H _ {\ text {layer}} \ varepsilon_v = H _ {\ text {layer}} \ frac {\ Delta e} {1 + e_0} $$其中$ \ varepsilon_v $是垂直應變，$ e $是土壤的孔隙率。

但是，事實證明$ \ Delta e $是應力相關量，應力隨深度而變化（即，它是深度的函數，$ z $）：

$$ \ Delta e = C_c \ log {\ frac {\ sigma ^ {\ prime} _0 + \ Delta sigma ^ {\ prime}} {\ sigma ^ {\ prime} _0}} $$，其中$ C_c $是壓縮索引（常數），而$ \ sigma ^ {\ prime} $是有效應力。

（請注意，實際上，情況會變得更糟，因為$ e_0 $也會隨深度而變化，但是為了使事情變得更容易，我們經常認為在執行計算時它是恆定的。 {\ prime} $隨深度不斷變化，解決此問題的常用方法是將土壤剖面分為1英尺層，並使用每一層中心的有效應力為該層找到$ S_p $ 。然後，您只需將它們加起來。

但是，一種更好，更輕鬆的方法是使用Mathcad之類的工具直接直接集成！不必將15英尺的土柱分為1英尺的增量，並在15層的每一層上執行相同的一組計算，我要做的（一次）是：

1. 定義孔隙水壓力為深度的函數，$ z $（最簡單的情況）：$$ u（z）= 0 $$
2. 定義總應力為深度的函數，$ z $：$$$ \ sigma_0（z）= \ gamma _ {\ text {soil}} z $$
3. 將有效應力定義為深度的函數，$ z $：$$ \ sigma ^ {\ prime} _0（z ）= \ sigma_0（z）-u（z）$$
4. 定義有效應力隨深度變化的函數$ z $（最簡單的情況是不斷增加）：$$ \ Delta \ sigma ^ {\ prime}（z）= 1000 \ text {psf} $$
5. 定義空隙率隨深度的變化，$ z $：$$ \ Delta e（z）= C_c \ log {\ frac {\ sigma ^ {\ prime} _0（z）+ \ Delta \ sigma ^ {\ prime}（z）} {\ sigma ^ {\ prime} _0（z）}} $$

最後，通過直接積分主要沉降方程，找到直至任意深度$ z = H _ {\ text {layer}} $的層的總合併量：

$$ S_p = \ int_ {0} ^ {H _ {\ text {laye r}}} {\ frac {\ Delta e（z）} {1 + e_0} \ text {d} z} $$

這種方法比教的方法更快，更準確，更容易在您的土壤力學或基礎教科書中。但是，它需要具有理解和應用基本演算的能力才能正確實施。

還有很多其他示例（例如，彎曲中的樑的結構分析，地下水流，分水嶺水位圖的體積流分析等），在這些示例中，直接積分將是比通常更好的方法。如果有合適的工具可用，則使用此選項。

Answer 7

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這裡的一位電子工程師發現數學是他學位課程中最困難的部分。

在進行RF工程，電路建模和設計時，我經常不得不使用和操縱複數。在對超聲波傳播進行建模時，它們也很有用。我經常希望Excel將復數作為內置類型來處理。

在設計控制和反饋系統時，對ODE的理解至關重要。

理解傅立葉級數的概念，拉普拉斯（Laplace）和Z變換以及卷積是必需的。

對我來說，重要的是知道那裡已有什麼數學，並能夠在需要時向數學家尋求幫助。我所諮詢的數學家總是很樂意幫助解決實際問題。

Answer 8

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作為一名計算科學家，我與工程師緊密合作，開發他們用來解決各種工程問題的軟件工具。我的工作在很大程度上依賴於偏微分方程和數值分析，對於這些而言，積分，導數，泰勒級數，極限，格林定理，優化，變化率等都是我每天生活中使用的基本工具。 / p>

在我看來，專業工程師是工具的使用者，而我卻將自己視為工具製造者。工程師當然可以在不十分了解其製作複雜性的情況下使用工具...但是要為手頭的工作選擇合適的工具，您必須了解可供選擇的各種工具及其優缺點。 。理解一種數值工具相對於另一種數值工具的優勢的唯一方法是，必須了解該工具的基礎。為此，微積分是絕對必要的。

Answer 9

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我將舉一個今天作為軟件工程師使用的演算示例。

我們正在估算對許多元素組中的每一個元素執行運算的計算時間。每個組花費的時間與組大小的平方成正比。

我們不確定組大小的分佈，但是根據我們可能使用的不同算法，我們可能能夠將它們建模為正態分佈，冪律分佈，指數分佈等，並影響這些分佈的參數。

計算期望值$ X ^ 2 $其中從某些分佈中抽取$ X $需要基本的演算知識：）

通常，類似的事情有時會彈出。我不知道我是否曾經明確地使用過編寫與微積分有關的計算的軟件，也沒有將它用作權威的決策工具。通常只剩下“嘗試一些事情，看看最有效的方法”，但這對於基本的白板集思廣益或評估絕對有用。在這種情況下，它可以讓我們對我們希望哪種分配最有效進行理論化，並集中精力嘗試解決這一問題。我可以肯定地說，微積分的非常基本的基礎對於理解某些軟件系統的動態很有用。四個學期可能太過分了。

Answer 10

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我擁有計算機工程學士學位。我仍處於職業生涯的早期（目前主要是軟件，但是我試圖讓人們更多地參與事物的硬件方面），但這是我的經驗：

我想知道哪種類型您是真正的工程師使用的微積分嗎？

對我來說，無論在學校還是在其他地方，最常用的話題是傅立葉變換。在我的電氣工程課程中一次又一次出現，現在我在電信領域工作，相對頻繁地以各種形式出現。

那是概念和背景，理解物理現實通過對我最有幫助的方程式，而不是實際的數字和計算（在校外很少見到）。知道如何盲目遵守規則並進行計算可以幫助在學校裡做得好（取決於教授），但以我的經驗，對電路的行為有一個概念上的了解和一般性的理解比能夠計算電路的行為更重要。確切的數值答案。在工作中，我們將快速找到答案-將數字插入模擬器。但是，如果您有概念上的理解，您就會知道會發生什麼，並在出現問題時注意到問題。

根據我的經驗，我會說，最重要的是要很好地理解方程式如何描述物理系統並且能夠來回翻譯。也就是說，讓方程式增強您對物理系統的理解。

也許您不使用其中的任何內容，但確實可以增強數學推理，這對您的工程設計確實具有積極的外部性技能？

是的！用數學術語描述物理系統，然後理解並預測其行為的能力是我在學校獲得的一項技能，我相信這對任何工程師來說都是非常重要的。

Answer 11

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這是從某人獲得機械工程博士學位的角度編寫的。我的數學背景與應用數學課程中的博士學位學生的水平相當（但絕對不及）。

正如其他人指出的那樣，這個問題的答案很大程度上取決於特定工程師的工作。在許多情況下，高級數學實際上是無用的。 一位土木工程師以基於代碼的工作為例。

作為一名從事流體動力學研究的博士生，我需要對PDE的所有方面有相當紮實的理解。數學是我用來解決問題的工具，就像實驗家可能會將溫度計視為工具一樣。我開發了數學模型（通常由計算機解決）供自己和其他工程師使用。

我的本​​科數學教育涵蓋的主題對我的工作有用：

• 積分，微分和向量演算（雖然我承認我自從本科畢業以來只使用過一次或兩次Lagrange乘法器，但基本上都是這樣）

• 概率和統計（我的班級已經相當愚蠢了，但是）

• 微分方程（包括普通的和部分的）

我參加了一個本科的綜合分析課程，我發現這很有趣，儘管我必須承認，自那時以來我幾乎沒有使用過。我選修並發現有用的一些研究生數學課程包括：漸近分析，測度理論概率（直接用於測度理論，但考慮得更仔細）和數值PDE。

但是，我的本科生微分方程背景非常缺乏。基本的ODE課必須很難講授，因為（大約）那裡的學生中有75％的人不需要了解ODE的知識，而另外25％的學生則需要很好地了解該學科。 （我可以在這個問題上寫很多東西，特別是我認為哪些領域是不足的。）

我想談談相關主題。許多工程師認為高級數學對他們來說比實際更多的沒有用，而且他們常常對此表示懷疑。一些工程師似乎竭盡全力避免完全使用任何數學方法，即使它會有所幫助。 ^{[1] sup>一家試圖從我的研究小組吹牛招募人員的公司，他們不做任何數學運算，似乎會吸引我們。老實說，他們成了一個內在的笑話。他們的許多工作都是基於代碼的，儘管代碼趨於保守，但並非在每種情況下都總是正確或有用的。當有人必須做出“工程判斷”時，我希望判斷是基於循證數學模型，而不是推測。 （我不確定為什麼存在關於高級數學有用性的這種觀點，但我認為部分原因是數學的困難和無知。）}

不使用高級數學的工程師應該至少要意識到盲目使用基於高級數學的工程軟件的潛在陷阱。許多工程師信任該軟件，就好像它的結果是無懈可擊的。我由一家生產仿真軟件的政府機構資助（我幫助開發該軟件），我記得他們的一位工程師對聲稱發現了新物理的用戶感到非常惱火：溫度高於絕熱火焰溫度（最高溫度）。根據第一定律，可能在燃燒中達到最高溫度）。實際發生的情況是該模擬軟件未使用“ TVD”方案，並且開發人員認為（也許隱含）使用該軟件的人員會在出現問題時識別並增加其他分辨率。我的印像是，他們不想使該軟件具有萬無一失，因為它會大大降低運行速度，但是顯然，這個問題出現了很多次，因此他們添加了萬無一失的算法。

這並不是說高級數學總是必要的。儘管有些工程師可能認為用數學上的技巧過分做某事很有趣，但如果不必解決問題，那可能是浪費時間。

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_{[1]適用於編程。對於一位由MS顧問指導的課程，他特別設計了一種“不可能”在Excel中求解的作業，因為該作業需要多次求解大型線性方程組。到目前為止，最簡單的方法是編寫幾十行代碼。他要求人們上交自己的密碼才能獲得信譽。他仍然收到電子表格！顯然，您可以在Excel中執行此操作，但是您需要手動輸入矩陣！當您需要500x500矩陣時，肯定不是那麼容易或有趣。 sub>}

Answer 12

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如果我們必須非常簡短地回答這個問題，我會說：

（1）工程師確實使用代碼，而應用代碼不需要演算，而只需計算和軟件。

（2）大多數工程師在其畢生職業生涯中都使用他人編寫的代碼。

（3）頂尖的工程師編寫和修改代碼和軟件，他們使用數學。它們使復雜的問題簡化為其他問題，將它們放在表，軟件和算術公式中。

Answer 13

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所有答案通常都能提供有效的分數，但我認為他們錯過了工程師選擇相當標準的2年數學課程的真正原因：學習其餘課程的效率。設計原始課程的人對創建一個“微積分”可以鍛煉您的頭腦等的“自由藝術”基金會不感興趣。他們想要培訓普通和簡單的工程師。

但是要培訓工程師，您需要教他們諸如力學，流體，波浪等主題。要有效地學習這些不同的主題，您需要微積分和線性代數。當然，您可以通過設計一些非常聰明的基本參數來替換微積分參數，但是通過微積分給出一個包含各種情況的參數要好得多。線性代數也是如此。例如，線性系統的零空間是否平凡的概念與線性ODE中的類似概念很好地聯繫在一起。

一個人可能整天都在爭論通過這種方法學習是否可以成為一名更好的工程師，但是任何一個受過教育的人都清楚：這是一種非常有效的培訓工程師的方法。而人們對所教數學的理解程度如何，將直接影響人們對工程課程其餘部分的理解程度。

Answer 14

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當我在匹茲堡的卡內基梅隆大學（1970年代中期）以“特殊學生”的身份參加課程時，“工程數學”由線性代數，常微分方程和偏微分方程以及“特殊主題”組成，例如冪級數和傅立葉級數解決方案，以及LaPlace變換。這是一所“繁重的”工程學校，許多學校都會開設“更輕便”的程序。