Según Carl B. Boyer, "La historia del cálculo y su desarrollo conceptual", Publicaciones de Dover 1959, página 98,
La notación mejorada condujo también a métodos que eran tanto Más fáciles de aplicar que los engorrosos procedimientos geométricos de Arquímedes, de los cuales eran modificaciones, estos métodos fueron finalmente reconocidos como formadores de un nuevo análisis: el cálculo. El período durante el cual tuvo lugar esta transformación puede considerarse como el siglo anterior al trabajo de Newton y Leibniz.
(La pregunta se complica por el hecho de que la mayoría de los matemáticos escribían en latín). Si está preguntando cuándo se usó la palabra "cálculo" para referirse al cálculo diferencial y / o integral, seguramente debe ser posterior al desarrollo de esos temas. Por ejemplo, Richard Suiseth era conocido como Calculadora en el siglo XIV, y los expertos en lo que ahora llamamos aritmética se llamaban "calculadores" en la Edad Media. La palabra "contar" es en realidad la palabra alemana "Rechen", que significa "calcular". Entonces, "Calculadora" es solo en latín para "Rechner". Así que la palabra "cálculo" de una forma u otra estuvo presente durante un tiempo en lo que respecta a la aritmética. La pregunta es algo confusa por el hecho de que lo que llamamos "matemáticas" en realidad se llamaba "geometría" hasta hace sólo unos pocos siglos, y los matemáticos eran llamados "geómetras", incluso en el siglo XIX. El término "matemáticas" en griego se refiere al conocimiento en general.
Quizás la mejor pregunta es cuándo se usaron por primera vez los términos "cálculo diferencial" y "cálculo integral". El tipo que le enseñó a Newton su cálculo básico (antes de que Newton lo desarrollara más) fue Isaac Barrow, quien escribió un libro "Conferencias geométricas", que muestra que este tema todavía se consideraba parte de la geometría en ese momento. Según Boyer, página 190, Newton usó la palabra "análisis" para su primera publicación sobre cálculo.
Sin embargo, el primer aviso de su cálculo se dio en 1669, en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas .
Y la integración se llamó originalmente " quadrature ", como en De quadratura de Newton. (Boyer, página 205.) Me parece que fue Leibniz quien primero promovió el término "cálculo" en el sentido moderno. Escribió un libro Historia et origo calculi differentialis un año o dos antes de su muerte. (Boyer, página 215.) En 1712, el comité de la Royal Society informó que
El método diferencial es uno y el mismo con el método de fluxiones , excepto el nombre y el modo de notación [...]
(Boyer, página 221.) Esto muestra que Newton ni siquiera estaba usando el término "cálculo diferencial". (El término "método diferencial" se refería al método de Leibniz.)
Según Boyer, página 67, la palabra "integral" también se originó con Leibniz, pero por sugerencia de los hermanos Bernoulli. Entonces me parece que el término "cálculo", con ese nombre, se desarrolló solo a fines del siglo XVII, más en Europa que en Gran Bretaña, donde el término fue resistido durante algún tiempo.
PD. Si solo quiere saber cuándo se utilizó por primera vez la palabra "cálculo" para calcular (en oposición al significado de piedras pequeñas o guijarros), mi diccionario de latín (John T. White, 1902, 1923) ofrece citas de Cicerón y Livio donde la palabra se usó en el sentido de "calcular, calcular, calcular". Eso lo remonta a hace 2000 años, más o menos unos 30 años.
PPS. Quizás también podría mencionar que lo que se llamaba "cálculo" en la época romana antigua y hasta el Renacimiento en Europa no se consideraba parte de la misma asignatura que la geometría, que se impartía en las universidades y precursoras de las universidades. Había una marcada división entre las matemáticas avanzadas de Euclides, Apolonio y Arquímedes y la aritmética del mercado, que está bien documentada desde el comienzo de la escritura hace 5500 años. Todos en estos 5,5 milenios habrían aprendido la aritmética básica del mercado como parte del crecimiento. No fue un estudio como tal. No necesitaba educación universitaria. Por lo general, tampoco se aprende de los libros. De modo que llamar a ese mercado "cálculo" o "ajuste de cuentas" parte de las matemáticas no es realmente correcto. Si le pide a un matemático en este momento que sume una factura de supermercado con 30 artículos, es posible que tenga algunas dificultades, pero no pensaríamos que esto indica una falta de habilidad matemática. Eso es solo el "ajuste de cuentas" del mercado, la carpintería, la contabilidad y docenas de otros oficios. Entonces, en mi opinión, "cálculo" no se usó para un tema realmente matemático hasta el siglo XVI o XVII. Hasta entonces, solo se aplicaba a la suma, resta, multiplicación y división del mercado. Llamar a eso matemáticas sería como llamar literatura sobre señales de tráfico.