Varför lärs inte Feynmans vägintegral ut bredare och tidigare i dagens läroplaner för akademisk fysik?

Question

view on stackexchange narkive permalink

Alla som har studerat Feynmans vägintegral vet att det gör kvantmekanik mer som klassisk mekanik. En student som har lärt sig om Lagrangian kommer lätt att förstå begreppet kvantmekanik genom banintegralen (tror jag). Varför fortsätter vi fortfarande att använda Schrödingers strategi? Det är historia nu.

För att helt förstå Feynmans tillvägagångssätt, måste du, erm, integrera så mycket? Jag menar, kanske är den starkt baserad på matematik?

Answer 1

view on stackexchange narkive permalink

Jag håller inte med påståendet om att bristen på matematisk stringens är en viktig anledning till att inte undervisa vägen integral formalism i kvantmekanik. Den vanliga fysikern är normalt inte intresserad av fullständig matematisk noggrannhet, så länge begreppen är meningsfulla ur en fysisk synvinkel och ger rätt resultat. Ett bra exempel på detta är Dirac-formalismen - varje fysiker vet det, och alla med en grundutbildning i funktionell analys vet att den matematiska rättfärdigandet inte kan förlita sig på ren Hilbert-rymdteori. Jag känner inte till någon lärobok som till och med försöker formulera Diracs formalism på ett noggrant sätt (Bortsett från det vanliga bråket om spektral nedbrytning i ändliga dimensioner, vilket naturligtvis inte gäller för de flesta problem i QM), det beror på att fysik bryr sig inte och den matematiska fysikern använder inte behåar och kets. Den matematiska formuleringen behöver, förutom spektralteori, också några saker om lokalt konvexa och nukleära utrymmen, vilket också är ganska specifikt.

Feynman-integralen är en ganska intuitiv konstruktion ur en rent fysisk synvinkel, och alla som tar en kurs i kvantmekanik bör ha grundläggande utbildning i analytisk mekanik, åtminstone är det så här i Tyskland - vanligtvis är Lagrange och Hamilton täckta, ibland också lite av Hamilton-Jacobi. Jag tror inte att detta är för mycket att fråga från en studenterstuderande som hade en kurs i mekanik. Dessutom tycker jag inte heller att det är för svårt för en grundare att använda den, därför bör de färdigheter som krävs för att introducera och arbeta med vägintegralen ges.

Från min synvinkel finns det är tre huvudsakliga skäl, för att Schrödinger-ekvationen är "standardmetoden" för kvantmekanik, och inte vägen integrerad formulering. Naturligtvis är dessa korrelerade.

Den första anledningen är naturligtvis att det alltid har gjorts så här. Av den anledningen finns det många bra och etablerade läroböcker med denna metod, som jag kan basera en föreläsning på. Det finns ett brett utbud av bra material och problem. Beroende på i vilket område du kommer att arbeta är Schrödinger-metoden vanligtvis ett bra tillvägagångssätt att arbeta med, därför är den överlägset inte föråldrad - vägintegral används främst av partikelfysiker, i andra områden är Schrödinger vanligtvis mycket användbar .

Den andra anledningen är att enkla problem man kan tänka sig är vanligtvis lättare att lösa med Schrödinger-ekvationen snarare än den vägintegrerade formuleringen. Försök till exempel att beräkna den harmoniska oscillatorn med hjälp av banintegraler. Det är komplicerat, inte elegant och du får inte en stor fysisk inblick i vad som händer. Väteatomen är ännu värre, och jag vill inte börja med Delta-potentialer. En annan stor nackdel, som gör det ganska komplicerat att lösa vissa problem, är att det är svårt att ändra representation för att beräkna något. Feynman-formalismen hanterar väl vissa problem som främst förekommer i QFT, men ingen i hans rätta sinne skulle försöka lösa väteatomen med hjälp av vägintegraler. Naturligtvis påverkas valet av det vi kallar "enkla och vanliga problem" av hur vi lär ut kvantmekanik, så denna punkt är korrelerad med den första.

Den tredje anledningen är att Schrödinger-uppskattningen (enligt min mening) har mer pedagogiskt värde. För det första, eftersom det är ett tillvägagångssätt som vi i princip redan känner till från mekanik och elektrodynamik: Här har du en differentialekvation, gå och lös den. I mekanik är det Newton / Lagrange / Hamilton, i elektrodynamik är det Maxwell och i kvantmekanik är det Schrödinger-ekvationen. Vidare, när du löser SE, löser du vanligtvis egenvärdesproblemet för Hamiltonian, som naturligtvis har en mycket direkt och experimentellt observerbar tolkning som energitillstånden för respektive system. Kärnan i tidsevolutionen är en ganska abstrakt konstruktion som inte har en direkt tolkning som denna.

Answer 2

view on stackexchange narkive permalink

Jag skulle vilja lägga till ett lite mer tekniskt svar för att komplettera det andra (även om det är lite sent). Det kan vara till hjälp, tror jag, och det berör en bredare fråga som är intressant. Det är en konflikt mellan undervisningens historia och historien om de matematiska förutsättningarna för materialet.

Först och främst antar att ämnet lärs ut tidigt, hur skulle det fungera? Jag gillar följande böcker: --- de drar nytta av författarnas långa erfarenhet av att undervisa om detta material.

Cartier P, DeWitt-Morette C , 2006, Funktionell integration, Cambridge University Press. (B)

DeWitt B , 2003, Global Approach to Quantum Field Theory, I, II, Oxford University Press. (C)

Innan detta skulle följande lärobok introducera alla grunder, till exempel för studenter som börjar med grundläggande kunskaper i kalkyl.

Choquet-Bruhat Y, DeWitt-Morette C , 1982, Analys, fördelningar och fysik , I, Elsevier. (A)

Detta skulle vara en självinnehållande serie kurser: A, B, C, som också skulle lära ut en hel del annat material, så ett par inledande matematiska kurser, vars innehåll täcks av ( A) skulle tappas. Så, endast ytterligare en kurs, totalt, skulle krävas. Varför händer inte detta?

(X) Svaret är verkligen historiskt, på grund av historiskt den förutsatta matematiken för ämnet, när den först utvecklades, fick rykte att vara "mycket avancerat material" med få inledande texter, och detta rykte fastnade. Även när det inte längre är motiverat påverkar det hur avdelningar konstruerar sin läroplan. Matematik är synergistisk. Det som en gång var svårt blir lättare när andra begrepp upptäcks och utvecklas. Framsteg i metod över tid gjorde beräkningarna enklare och egentligen inte längre något svårt i vanliga fall, och det finns många introduktionsböcker till materialet nu . Emellertid ändras rykte långsammare än miljön som genererade dem.

Till exempel tog AE ovan upp punkten att analytisk fortsättning lärs inte ut studenter på många ställen, och komplexa variabler är inte obligatoriska. Det är min erfarenhet också. Jag föreslår att samma omständigheter är orsaken.

För strängt arbete med funktionell integration måste distributionsmetoder användas. (Nu föredrar jag kohomologimetoder som leder till generaliserade funktioner. Men motiveringen och tillämpningen är densamma i det här fallet.) Den historiska frågan är: kategoriteori, skivor och generaliserade funktioner blev allmänt kända och fullt utvecklade på 1970-talet. (Efter att Feynmans integral använts i över tjugo år!) För att veta hur man gör beräkningar i det godtyckliga fallet, bortom den intuitiva uppställningen av problemen (som utvecklades 1920-50-talet), krävs dessa senare metoder.

Det finns gott om grundläggande introduktionsböcker, publicerade 1990-talet-nu, och som inte är för avancerade för studenter. Exempelvis antar Lawveres bok, MacLanes flera böcker etc., att läsaren börjar utan någon kunskap om ens de mest elementära matematiska begreppen! Och introduktionsböckerna om allmänna funktioner och distributioner börjar lätt: högra gränser för lämpliga serier av summor och produkter som tillämpas på 1800-talets problem, för att lösa dem lättare än traditionellt.

Frågan är att de är faktiskt böcker. Att köpa en bok räcker inte för att lära sig någonting. Det måste läsas. Det finns ofta (av olika institutionella skäl) helt enkelt inte tillräckligt med tid i huvudplanen för att presentera allt material utan att studenterna läser något i någon bok som inte presenteras på lektionen. Men i de flesta universitet, på denna nivå, använder du böcker, om alls, mest för läxproblem ...: _ (Historiskt sett har utbildningssystemet drivit bort från att läsa STEM-fälten.

På å andra sidan kan de andra metoderna presenteras utan nödvändig läsning. Och medan den typiska grundutbildningen, som kommer från en typisk gymnasium kan läsa böcker, inte vanligtvis. Om de köper dem beror det på att de innehåller läxproblem som krävs. Många grundkurser är inte strukturerade så att de inte behöver läsas alls. Läroböckerna är endast valda för sina ändrade läxuppsättningar. är verkligen fallet, vad som helst som inte kan läras ut på detta sätt, eller har rykte som "avancerad" är inte obligatoriskt eller undervisas alls förrän långt in i examen. Detta är bara ett fall, verkar det för mig.

Answer 3

view on stackexchange narkive permalink

Låt mig försöka sammanfatta vad som sagts i kommentarerna och lägga till något. (Jag är lärare i matematik, inte fysik, men det är nära). Först och främst studerar inte alla studenter Lagrangian mekanik i ett tidigt skede. Det kräver mycket mer matematisk sofistikering än de flesta studenter har. (Jag pratar om USA här).

För det andra kan inte Feynmans integral kallas fullt matematiskt motiverad. Det var många försök att formulera det noggrant, jag är inte beredd att analysera dessa försök och hur framgångsrika de är, men en sak är tydlig: denna rättfärdigande kräver mycket mer avancerad matematik än vad de flesta fysiker vet (än mindre studenter). fungerar de flesta fysiker bryr sig bara inte om rigorös matematisk motivering. Men undervisning är en annan sak :-)

Tredje. Det är inte sant att Schrodingers formulering bara har historiskt värde. Det är enkelt och bekvämt, och det ligger en rik och rigorös matematisk teori bakom den. Det används ofta av fysiker och matematiker. (Heisenbergs strategi (matrismekanik) är mindre populär, men även det har mycket mer än "historisk betydelse").

Fjärde. Utbildning är extremt konservativ. Låt mig ge ett annat exempel: multivariat kalkyl (Stokes sats och dess släktingar). Den moderna utställningen bygger på formalismen av differentiella former av E. Cartan, som uppfanns i början av 1900-talet. Den är mycket ENKLARE och kraftfullare än vad vi lär lärare. Fortfarande studeras grundutbildningen med formalism från 1800-talet av "vektoranalys" nästan överallt (utom Frankrike). Anledningen till detta är att lärare tenderar att lära sig hur de lärde sig själva :-)

Men när det gäller Feynman integral tror jag att de främsta orsakerna är den andra och tredje.

Förresten förklarar Feynman själv i sina föreläsningar om fysik kvantmekanik utan hans integral. Han har en speciell föreläsning (ett slags bilaga) om principen om minst handling, men varnar för att detta är en mycket mer avancerad grej än resten av boken :-)

P.S. Jag vill inte registrera mig för fysikwebbplatsen för att svara på frågan om "Lagrangian" måste aktiveras. Men min åsikt är följande: det finns regler för språket. De kan vara logiska eller inte, vi kanske gillar dem eller inte. Men det finns kodifierade regler, och det är bättre att följa dem. På ryska skrivs alla dessa ord med gemener, på tyska skriver de riemannsche Flache, men på engelska: Riemann-ytan. Så på olika språk är olika ord i samma uttryck stora.

P.P.S. Under många år letade jag i bokhandlarna boken om Feynman och Hibbs, kvantmekanik och vägintegraler. Hyllorna är alltid fulla av "Skämtar ni Mr. Feynman?" och så, men den här boken är långt slut ... Jag köpte äntligen en ryska översättning i en begagnad bokaffär i Ukraina.

Answer 4

view on stackexchange narkive permalink

För kvantmekanik kan vägintegral göras noggrant med Feynman-Kac-formeln och analytisk fortsättning, men metoden är inte alls elementär. En enda titt på Feynman-Kac-formeln visar varför det inte är ett bra ställe för studenter att börja på. Dessutom är att förstå var det kommer ifrån i sig själv ett jobb. Även om vägintegralheuristik är intuitivt attraktiv, är det en annan fråga att implementera dem i praktiken - med faktiska beräkningar.

Även om banintegral kallas "integrerad" även inom kvantmekanik är det något mer komplicerat ett par mellan en distribution och en testfunktion. Den analytiskt fortsatta Feynman-Kac-formeln är opraktisk för faktiska beräkningar, men vad den innebär är att lösa ett initialt gränsproblem för Schrödinger-ekvationen. Det finns många fler metoder för att göra det, separering av variabler och Laplace-transform till exempel, och de är mer elementära än teorin om mått och fördelningar på oändliga dimensionella utrymmen.

Å andra sidan lär Feynman-diagram tidigt argumenterades övertygande av John Baez och andra, inte i samband med QFT, utan i samband med beräkning av slutliga dimensionella integrationer störande, se här för en elementär redogörelse.