Brigitte
2017-03-14 05:55:02 UTC
Liebe Mitleser,
ich bitte um Hilfe bei einer Beweisführung, wo ich fürchte, dass mein "Beweis" keiner ist.
Hier die Übungs-Aufgabe, die aus dem Büchlein von Kevin Houston ("Wie man
mathematisch denkt") stammt:
"Zeigen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners oder Computers dass
die
siebte Wurzel aus 7! < achte Wurzel aus 8! " bzw.
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8)
Mein Plan war, diese Ungleichung zunächst als wahr anzunehmen und
beide Seiten mit erlaubten Umformungen so umzuformen, dass eine leicht
als wahr erkennbare Aussage entsteht. Etwa so:
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8) /* jetzt beide Seiten logarithmieren
1/7 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!)
diese Ungleichung bleibt sicher richtig, wenn statt 1/7 schreibe:
1/8 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!) (###)
und weiter:
(7!)^(1/8) < (8!)^(1/8)
1 < 8^(1/8) bzw.
1 < 8
-> wahre Aussage.
Beim Schritt (###) ist mir etwas mulmig. Darf ich das?
Ich fürchte Nein.
Wie beweist man dann die obige Ungleichung?
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
Brigitte
ich bitte um Hilfe bei einer Beweisführung, wo ich fürchte, dass mein "Beweis" keiner ist.
Hier die Übungs-Aufgabe, die aus dem Büchlein von Kevin Houston ("Wie man
mathematisch denkt") stammt:
"Zeigen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners oder Computers dass
die
siebte Wurzel aus 7! < achte Wurzel aus 8! " bzw.
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8)
Mein Plan war, diese Ungleichung zunächst als wahr anzunehmen und
beide Seiten mit erlaubten Umformungen so umzuformen, dass eine leicht
als wahr erkennbare Aussage entsteht. Etwa so:
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8) /* jetzt beide Seiten logarithmieren
1/7 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!)
diese Ungleichung bleibt sicher richtig, wenn statt 1/7 schreibe:
1/8 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!) (###)
und weiter:
(7!)^(1/8) < (8!)^(1/8)
1 < 8^(1/8) bzw.
1 < 8
-> wahre Aussage.
Beim Schritt (###) ist mir etwas mulmig. Darf ich das?
Ich fürchte Nein.
Wie beweist man dann die obige Ungleichung?
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
Brigitte