Analogie hydrodynamique électromagnétisme

[florentis]

D'abord : Merci à H. Marmanis, Germain Rousseau, Étienne Guyon, Olivier
Darrigol (au sujet de l'analogie), Claude Saintblanc (très bon cours de
mécaflu en ligne), Michael Zhdanov (théorie des formes différentielles
en dimension 4 - espace + temps).

Une forme différentielle en dimension 4 peut être décomposée en une
partie spatiale et une partie temporelle.

Écrivons la différentielle dφ une 0-forme φ de R4 :

dφ = grad(φ) . dr + ∂φ/∂t dt

Si on l'applique à l'hydrodynamique :

dφ = v . dr - P/ρ dt
φ est le potentiel de vitesse.
Cela définit une onde acoustique.

Si on l'applique à l'électromagnétisme :

dφ = A . dr + U dt

avec A = grad(φ) dit « potentiel vecteur » ou « impulsion
électromagnétique »
et U = - ∂φ/∂t dit « potentiel scalaire » -> (loi de Lenz)
φ est désigné aujourd'hui sous le terme « flux du champ magnétique »


Analogie de Helmoltz et théorème d'Ampère.

L'analogie de Helmoltz consiste à considérer que le champ magnétique est
à la vitesse ce que le la densité de courant est à la vorticité.
Cependant, cette analogie n'a pas les symétries adéquates (Rousseau,
Guyon). L'analogie correcte est de considérer que le potentiel vecteur
est à la vitesse ce que le champ magnétique est à la vorticité.

Le théorème d'Ampère est le reflet de l'analogie de Helmoltz : Il
considère la circulation du champ magnétique (comme une vitesse) pour
établir la densité de courant (la vorticité).

Pour respecter les symétries du problème, il faut donc modifier le
théorème d'Ampère :

La circulation du potentiel vecteur est égal ...

∮ A.dr = ∮ dφ = φ

au flux magnétique !

Or ∮ A.dr, c'est analogue à la circulation de la vitesse pour un
tourbillon.
∮ v.dr = I => c'est désigné l'intensité du Tourbillon.

On sait par ailleurs que :
φ = L I (Par définition, L étant l'inductance)
en dérivant par le temps :
∂φ/∂t = L ∂I/∂t = - U

D'où, le nouveau théorème d'Ampère :
∮ A.dr = L I

φ, flux du champ magnétique, véritable potentiel scalaire
----------------------------------------------------------
φ parait ainsi comme l'intensité du vortex d'impulsion
électromagnétique, qui est relié à l'intensité électrique via la notion
d'inductance.

Si on adjoint aux relations fondamentales :
A = grad φ (reliant l'impulsion du milieu à l'intensité du vortex);
U = - ∂φ/∂t (reliant la pression dans le milieu à l'intensité du vortex);
Enfin, la contrainte de Lorenz, div A + 1/c² ∂U/∂t = 0;
En substituant, on trouve,
div (grad (φ)) - 1/c² ∂²φ/∂t² = 0
Soit : ∇² φ - 1/c² ∂²φ/∂t² = 0

L'intensité du vortex électromagnétique obéit à l'équation d'onde.

On aura exactement la même relation en hydrodynamique
∇² φ - 1/c_s² ∂²φ/∂t² = 0
Ou φ est le potentiel de vitesse, et c_s la célérité du son dans le milieu.

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Ensuite, il faut déterminer à quoi correspondent, dans cette analogie,
les champs B et E.

Le champ B, c'est immédiat, correspond à la vorticité.

Mais le champ E, - [∂A/∂t + grad V], à quoi correspond-il ?

Pour un fluide incompressible, la conservation de la quantité de
mouvement s'écrit :

ρ dv/dt = ∂v/∂t + v.grad v = - grad (P)

Et si la variation totale de quantité de mouvement est nulle :
ρ ∂p/∂t + ρ(v.grad) v = - grad (P) = 0

=> ρ(v.grad) v = - [ρ ∂p/∂t + grad (P)]

[incompressibilité]
(v.grad) v = - [∂p/∂t + grad (P/ρ)]

par l'analogie : v <=> A; P/ρ <=> U

(v.grad) A = - [∂A/∂t + grad (U)] = E

E correspond alors à l'advection d'impulsion électromagnétique, dans un
contexte où l'impulsion de la particule ne varie pas.

C'est à dire que, dans ce contexte, la vitesse tangentielle ne varie
pas. C'est évidemment le cas dans un mouvement circulaire. Et le champ E
correspond alors à une accélération centrifuge, a, qui est
perpendiculaire à la vitesse.

Cela complète l'analogie :

A (impulsion électromagnétique) <=> v (densité de qté de mvt)
U (Pression électromagnétique) <=> P/ρ (enthalpie)
B (vorticité électromagnétique) <=> ω (vorticité)
E (advection d'impulsion e.m.) <=> (v.grad) v = grad v²/2 + rot(v) x v

On peut déjà noter que dans un mouvement turbulent, la vorticité et
l'advection de vitesse sont transverses par rapport à la vitesse.

On peut donc donner l'analogue en hydrodynamique des équations de
Maxwell pour les champs.

rot [(v.grad) v] = - ∂ω/∂t
rot ω = 1/c_s ² ∂[(v.grad) v]/∂t

∇² ω - 1/c_s ² ∂²ω/∂t²
∇² (v.grad)v - 1/c_s ² ∂²[(v.grad)v]/∂t²

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D'abord : Merci à H. Marmanis, Germain Rousseau, Étienne Guyon, Olivier
Darrigol (au sujet de l'analogie), Claude Saintblanc (très bon cours de
mécaflu en ligne), Michael Zhdanov (théorie des formes différentielles
en dimension 4 - espace + temps).
Une forme différentielle en dimension 4 peut être décomposée en une
partie spatiale et une partie temporelle.
dφ = grad(φ) . dr + ∂φ/∂t dt
dφ = v . dr - P/ρ dt
φ est le potentiel de vitesse.
Cela définit une onde acoustique.
dφ = A . dr - U dt
avec A = grad(φ) dit « potentiel vecteur » ou « impulsion
électromagnétique »
et   U = - ∂φ/∂t dit « potentiel scalaire » -> (loi de Lenz)
φ est désigné aujourd'hui sous le terme « flux du champ magnétique »

Maintenant, appliquons une seconde fois l'opérateur de dérivation
extérieur. On a, par définition de l'opération :

d²φ = (rot A) dS + (- ∂A/∂t - grad U) dr ^ dt
= B dS + E dr ^ dt
= 0

Pour évaluer la relation entre E et B, on peut l'écrire encore :

∂B/∂t dS ^ dt + rot E dS ^ dt = 0
=> rot E = - ∂B/∂t

C'est la loi de Faraday.

Exprimons cette dérivée extérieure en fonction de l'intensité du vortex
électromagnétique :

d²φ = (rot (grad φ)) dS + ( -∂(grad φ)/∂t + grad (∂φ/∂t) ) dr ^ dt

donc :
B = rot (grad φ)
E = -∂(grad φ)/∂t + grad (∂φ/∂t)

En général, il est dit que le rotationnel d'un gradient est nul. C'est
un résultat du théorème de Schwartz, dont la démonstration s'appuie sur
le fait que l'on peut permuter l'ordre des variables en calculant la
dérivée seconde d'une fonction.

Or B est non nul. Cela signifie que l'ordre choisi pour dériver φ selon
ses variables spatiales n'est pas permutable. Cela signifie aussi qu'il
existe une discontinuité dans la dérivée seconde spatiale de φ

De même E est non nul. Cela signifie également que l'ordre de dérivation
entre les variables d'espace et la variable temps n'est pas permutable :
∂(grad φ)/∂t =/= grad (∂φ/∂t)

Autrement dit, il existe une discontinuité dans la dérivée seconde
spatio-temporelle de φ.

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Post by florentis
D'abord : Merci à H. Marmanis, Germain Rousseau, Étienne Guyon, Olivier
Darrigol (au sujet de l'analogie), Claude Saintblanc (très bon cours de
mécaflu en ligne), Michael Zhdanov (théorie des formes différentielles
en dimension 4 - espace + temps).
Une forme différentielle en dimension 4 peut être décomposée en une
partie spatiale et une partie temporelle.
dφ = grad(φ) . dr + ∂φ/∂t dt
dφ = v . dr - P/ρ dt
φ est le potentiel de vitesse.
Cela définit une onde acoustique.

Restons en à l'hydrodynamique :

Appliquons une seconde fois l'opérateur différentiation extérieure :

d²φ = rot v . dS - (∂v/∂t + grad P/ρ) dr ^ dt

rot v -> c'est la vorticité : ω
∂v/∂t + grad P/ρ -> On y reconnait le bilan de la quantité de mouvement,
sans la densité de force volumique (fv), le tout rapporté à la masse
volumique du fluide (ρ).


d²φ = ω . dS - (f/ρ) dr ^ dt

Cela nous donne donc l'analogue de l'équation de Maxwell-Faraday

rot (f/ρ) = - ∂ω/∂t
ou bien : rot (f) = - ρ ∂ω/∂t

Pour obtenir l'analogue de l'équation de Maxwell-Ampère, tout en
retrouvant l'équation de l'onde acoustique, il faut avoir :

rot ω = χs ∂f/∂t

χs étant la compressibilité isentropique.

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dφ = A . dl - U dt

U = - dφ/dt se découle simplement de la loi de la force électromotrice.

Dans le domaine des SQUID (Superconducting QUantum Interference Device),
on démontre que tout flux magnétique traversant un anneau
supraconducteur est quantifié. On y montre aussi que l'application d'un
champ magnétique à un tel anneau implique une variation de phase (fi) le
long de l'anneau telle que son intégrale sur un contour fermé soit égale
à 2 n π.

∫ d fi = ∫ 2 π (2e/h) A . dl = 2 n π
<=> ∫ A . dl = n (h/2e) = n φ0

où A est le potentiel vecteur le long de l'anneau.

φ0 étant désigné : Quantum de flux magnétique.

Par abus de langage, on peut donc écrire : dφ = A.dl

Ce qui est la première partie de l'expression.


Et si l'éther avait des propriétés supraconductrices, au moins à petite
échelle ? Cela expliquerait la quantification du rayonnement.

On aurait en effet :

1° La quantité de mouvement par « photon »
h / λ = (2 e φ0) / λ
= (2 e / λ) ∫ dφ
= (2 e / λ) ∫ A . dl -> moyenne spatiale de A

(à temps constant, sur l'anneau supraconducteur d'éther);

2° L'énergie par « photon » :
h υ = 2 e φ0 υ
= (2 e υ) ∫ dφ
= - (2 e / T) ∫ U dt -> moyenne temporelle de U

(à position constante, sur l'anneau supraconducteur d'éther).

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Post by florentis
Cette relation, on peut l'écrire également, en considérant maintenant un
nombre « n » de quantum de flux magnétique (ci-dessus, n était pris égal
h/2e = n ∫ A . dl
Elle peut être mise en rapport avec les tourbillons quantifiés dans un
superfluide (cf
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/publications/Vortex-SFP.pdf)
h/m = p ∫ v . dl
où p est un entier, baptisé charge topologique, v est la vitesse.
On voit qu'en faisant correspondre,
   v à A
   m à 2e
   p à n
l'analogie entre la supra-fluidité et la supra-conductivité est parfaite.

Par ailleurs, on retrouve encore cette quantification de la circulation
dans la version hydrodynamique (Madelung) des équations de Schrödinger
(cf https://en.wikipedia.org/wiki/Madelung_equations).

En supposant, à 1 dimension, un potentiel vecteur de la forme :
A = A0 cos²(2π/λ x)

On peut s'amuser à marier ce genre de quantification à la jauge de Lorentz.

(Je passe les détails) On trouvera :
A0 = (h / λ) / e

Puis, sachant que :
c² ∂A/∂x = - ∂U/∂t
ν = c / λ
x = c t

U = U0 cos²(2πν t)
U0 = h ν / e

A priori, il semble donc que la quantification du flux magnétique dans
un éther supraconducteur, ou, dit autrement, la quantification de la
circulation de la vitesse dans un éther super-fluide, ne soit pas
incompatible avec les équations de Maxwell.

En effet, la fonction :
A = (h / λ) / e * cos² (2π/λ x)
= (h ν / c) / e * cos² (2πν t)

respecte à la fois l'équation d'une onde
c² Δ A - ∂²A/∂t² = 0
et la quantification
h/2e = ∫ A . dl

Y-a-t-il un physicien dans la salle ?
Qu'en pense-t-il ?

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Post by florentis

Post by florentis
Serait-il donc possible d'imaginer le photon comme un vortex quantifié
dans un superfluide, supra-conducteur, l'éther ?

Mais la transversalité de l'onde lumineuse n'est-elle pas un problème,
puisqu'un fluide parfait ne peut en transmettre, dit-on ?
Que nenni : certaines études montre l'existence de modes de propagation
transversaux dans l'hélium superfluide. (cf
https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00752281)
Peut-être cette transversalité des ondes est-elle dans ce cas une
conséquence de la quantification de la circulation du champ des vitesses ?
Bref un éther superfluide permettrait l'existence d'ondes transversales
en son sein.

https://www.nature.com/articles/22712

Abstract

Acoustic waves provide a powerful tool for studying the structure of
matter. For example, the speed, attenuation and dispersion of acoustic
waves can give useful information on molecular forces and the
microscopic mechanisms of absorption and scattering of acoustic energy.
In solids, both compression and shear waves occur—longitudinal and
transverse sound, respectively. But normal liquids do not support shear
forces and consequently transverse waves do not propagate in liquids,
with one notable exception. In 1957 Landau predicted that the
quantum-liquid phase of helium-3 might support transverse sound waves at
sufficiently low temperatures, the restoring forces for shear waves
being supplied by the collective quantum behaviour of the particles in
the fluid. Such shear waves will involve displacements of the fluid
transverse to the direction of propagation, and so define a polarization
direction similar to that of electromagnetic waves. Here we confirm
experimentally the existence of transverse sound waves in superfluid
3He-B by observing the rotation of the polarization of these waves in
the presence of a magnetic field. This phenomenon is the acoustic
analogue of the magneto-optic Faraday effect, whereby the polarization
direction of an electromagnetic wave is rotated by a magnetic field
applied along the propagation direction.