IV
2018-03-24 19:11:02 UTC
Hallo,
könnt Ihr mir bitte mal wieder helfen?
Ich kann einfach noch nicht sehen, daß die Aussage unten richtig ist.
[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
Aussage, die ich noch nicht verstehe:
Abschnitt 11. Seite 6 der Pdf-Datei, Seite 73 des Artikels:
"11. ... the formulas for the differentiation of composite functions show
that if u is an elementary function ..., there exists an algebraic function
of the z's, analytic for ..., which reduces to the derivative of u for |z -
a| < rho, when each variable is replaced by the monomial which corresponds
to it.
A similar result holds for the higher derivatives of u."
Meine Frage:
Wieso ist die Ableitung von u immer nur eine a l g e b r a i s c h e
Funktion der Monome von u?
Wenn ein z_j eine mehrfach verkettete Funktion ist, dann enthält nach der
Kettenregel der Differentiation der Funktionsterm der Ableitung die
Ableitungen aller inneren Funktionen als Faktoren, und die sind nicht z_j.
Beispiel:
u(z) = A1(exp(A2(exp(A3(z)))))
A1, A2, A3: algebraische Funktionen
z1 = exp(A2(exp(A3(z))))
u'(z) = A1'(t)|t=z1 * A2'(t)|t=exp(A3(z)) * A3'(z) * exp(A3(z)) * z1
Sind denn z1 = exp(A2(exp(A3(z)))) und exp(A3(z)) über \mathbb{C}
algebraisch voneinander abhängig? Nur wenn das so ist, dann ist das Monom
exp(A3(z)) eine algebraische Funktion des Monoms z1. Mir scheint aber, u'(z)
ist keine algebraische Funktion von z1, sondern eine algebraische Funktion
von z1 und exp(A3(z)).
Wo liege ich falsch?
Erläuterungen:
Es geht um Elementare Funktionen (Wikipedia en: Elementary function
https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function).
[Ritt 1925]: "The elementary functions are understood here to be those which
are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations
and taking exponentials and logarithms."
Da die Identität eine algebraische Funktion ist, kann jede elementare
Funktion als Komposition von abwechselnd ein- oder mehrstelligen
algebraischen Funktionen und exp oder ln dargestellt werden.
Jede algebraische Funktion ist ein Monom der Ordnung 0. exp und ln einer
algebraischen Funktion sind Monome der Ordnung 1. exp oder ln eines Monoms
nter Ordnung sind Monome (n+1)ter Ordnung.
Eine elementare Funktion u ist eine algebraische Funktion der Monome z;
z_1^(n), z_2^(n), ..., z_rn^(n-1); z_1^(n-1), z_2^(n-1), ..., z_rn^(n-1);
... Die hochgestellte Zahl in Klammern bezeichnet die Ordnung des Monoms.
Ritts Aussage ist wohl, daß die Ableitung der Funktion u (nach z?) immer
eine algebraische Funktion der Monome von u ist.
Vielen Dank.
könnt Ihr mir bitte mal wieder helfen?
Ich kann einfach noch nicht sehen, daß die Aussage unten richtig ist.
[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
Aussage, die ich noch nicht verstehe:
Abschnitt 11. Seite 6 der Pdf-Datei, Seite 73 des Artikels:
"11. ... the formulas for the differentiation of composite functions show
that if u is an elementary function ..., there exists an algebraic function
of the z's, analytic for ..., which reduces to the derivative of u for |z -
a| < rho, when each variable is replaced by the monomial which corresponds
to it.
A similar result holds for the higher derivatives of u."
Meine Frage:
Wieso ist die Ableitung von u immer nur eine a l g e b r a i s c h e
Funktion der Monome von u?
Wenn ein z_j eine mehrfach verkettete Funktion ist, dann enthält nach der
Kettenregel der Differentiation der Funktionsterm der Ableitung die
Ableitungen aller inneren Funktionen als Faktoren, und die sind nicht z_j.
Beispiel:
u(z) = A1(exp(A2(exp(A3(z)))))
A1, A2, A3: algebraische Funktionen
z1 = exp(A2(exp(A3(z))))
u'(z) = A1'(t)|t=z1 * A2'(t)|t=exp(A3(z)) * A3'(z) * exp(A3(z)) * z1
Sind denn z1 = exp(A2(exp(A3(z)))) und exp(A3(z)) über \mathbb{C}
algebraisch voneinander abhängig? Nur wenn das so ist, dann ist das Monom
exp(A3(z)) eine algebraische Funktion des Monoms z1. Mir scheint aber, u'(z)
ist keine algebraische Funktion von z1, sondern eine algebraische Funktion
von z1 und exp(A3(z)).
Wo liege ich falsch?
Erläuterungen:
Es geht um Elementare Funktionen (Wikipedia en: Elementary function
https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function).
[Ritt 1925]: "The elementary functions are understood here to be those which
are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations
and taking exponentials and logarithms."
Da die Identität eine algebraische Funktion ist, kann jede elementare
Funktion als Komposition von abwechselnd ein- oder mehrstelligen
algebraischen Funktionen und exp oder ln dargestellt werden.
Jede algebraische Funktion ist ein Monom der Ordnung 0. exp und ln einer
algebraischen Funktion sind Monome der Ordnung 1. exp oder ln eines Monoms
nter Ordnung sind Monome (n+1)ter Ordnung.
Eine elementare Funktion u ist eine algebraische Funktion der Monome z;
z_1^(n), z_2^(n), ..., z_rn^(n-1); z_1^(n-1), z_2^(n-1), ..., z_rn^(n-1);
... Die hochgestellte Zahl in Klammern bezeichnet die Ordnung des Monoms.
Ritts Aussage ist wohl, daß die Ableitung der Funktion u (nach z?) immer
eine algebraische Funktion der Monome von u ist.
Vielen Dank.