On Saturday, April 1, 2017 at 6:54:50 PM UTC+2, Helmut Richter
Post by Helmut RichterDas wird doch nicht am Ende derselbe Hilbert sein, der 1900 bei
seinem berühmten Vortrag über ungelöste mathematische Probleme als
*erstes* "Cantors Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums"
nannte?
(Archiv für Math. und Phys. 3. Reihe, Bd. 1, S.44-63, S.213-237 (1901))
Ja, doch, es ist sogar derselbe Hilbert, der IM SELBEN AUFSATZ wie
"Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand
vertreiben können."
(David Hilbert: Über das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1926), S. 170)
Mir gefällt mein Zitat besser, weil es in der Sprache der Mathematik und
nicht der Poesie geschrieben ist. Ich hänge mal die ersten paar Absätze
an und bin gespannt, wie WM die anders interpretieren kann als dass
Hilbert verstanden hat, dass es verschiedene unendliche Mächhtigkeiten
gibt und dass insbesondere die Mächtigkeit des Kontinuums eine andere
als die der natürlichen Zahlen ist. Als Kronzeuge dafür, dass das alles
Unfug ist, scheidet Hilbert wohl aus.
Ab hier Zitat von Hilbert:
1. Cantors Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums.
Zwei Systeme, d. h. zwei Mengen von gewöhnlichen reellen Zahlen (oder
Punkten) heißen nach CANTOR äquivalent oder von gleicher Mächtigkeit,
wenn sie zu einander in eine derartige Beziehung gebracht werden können,
daß einer jeden Zahl der einen Menge eine und nur eine bestimmte Zahl
der anderen Menge entspricht. Die Untersuchungen von CANTOR über solche
Punktmengen machen einen Satz sehr wahrscheinlich, dessen Beweis jedoch
trotz eifrigster Bemühungen bisher noch niemandem gelungen ist; dieser
Satz lautet:
Jedes System von unendlich vielen reellen Zahlen, d.h. jede unendliche
Zahlen- (oder Punkt)menge ist entweder der Menge der ganzen natürlichen
Zahlen 1, 2, 3, ... oder der Menge sämtlicher reellen Zahlen und mithin
dem Kontinuum, d.h. etwa den Punkten einer Strecke, äquivalent; im Sinne
der Äquivalenz gibt es hiernach nur zwei Zahlenmengen, die abzählbare
Menge und das Kontinuum.
Aus diesem Satz würde zugleich folgen, daß das Kontinuum die nächste
Mächtigkeit über die Mächtigkeit der abzählbaren Mengen hinaus bildet;
der Beweis dieses Satzes würde mithin eine neue Brücke schlagen zwischen
den abzählbaren Mengen und dem Kontinuum.
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Helmut Richter