Sequenza delle cifre dei numeri irrazionali.

[FB]

Espresso in italiano e non in gergo, cosa si può dire dell'affermazione
"qualunque sequenza "finita" di cifre 0..9 DEVE per forza esistere nello
sviluppo decimale di OGNI numero irrazioneale, e deve esistere un numero
INFINITO di volte ? Trovo il quesito estremamente intrigante. Inoltre, mi
sembra di ricordare che c'era un gruppo di ricerca che stava "esaminando" lo
sviluppo decimale dei numeri irrazionali trascendenti e quelli algebrici,
allo scopo di trovare eventuali "differenze" in termini statistici tra
questi due gruppi. Se ne sa qualcosa ? Il lavoro ha dato qualche frutto ?
Srebbe affascinante "trovare" qualcosa che leghi diversifichi la
distribuzione delle cifre tra i numeri irrazioniali algebrici e quelli
trascendenti.

[Andrea Cervetti]

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Espresso in italiano e non in gergo, cosa si può dire dell'affermazione
"qualunque sequenza "finita" di cifre 0..9 DEVE per forza esistere nello
sviluppo decimale di OGNI numero irrazioneale, e deve esistere un numero
INFINITO di volte ?

Che e' falsa.

Per esempio il numero 1,010010001000010000010000001..... e' irrazionale,
ma nel suo sviluppo non compare la sequenza di cifre "2", o "3", o anche
"1111".

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Trovo il quesito estremamente intrigante.

Chi l'ha formulato ha scarsa dimestichezza con la definizione di
infinito. Siccome lo sviluppo di in numero errazionale e' una sequenza
infinita allora suppone che da qualche parte ci sia qualsiasi
sottosequenza. Ma, per definizione, un insieme infinito e' sempre
infinito anche se gli sottrai un numero infinito di parti.

Quindi se prendi lo sviluppo decimale di un irrazionale in cui una certa
sequenza compare anche un numero infinito di volte e consideri il numero
che si ottiene togliendo quella sequenza ottieni sempre un numero
irrazionale, ma in cui quella sequenza semplicemente non c'e'.

Per esempio, se dallo sviluppo decimale di pi greco togli la cifra '9',
da 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459...
ottieni 3.141526535873238462643383275028841716337510582074445... che e'
sempre irrazionale, ma che non contiene nessuna sequenza che contenga il
'9'.

Ciao

Andrea

[Andrea Cervetti]

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Espresso in italiano e non in gergo, cosa si può dire dell'affermazione
"qualunque sequenza "finita" di cifre 0..9 DEVE per forza esistere nello
sviluppo decimale di OGNI numero irrazioneale, e deve esistere un numero
INFINITO di volte ?

Che e' falsa.

Per esempio il numero 1,010010001000010000010000001..... e' irrazionale,
ma nel suo sviluppo non compare la sequenza di cifre "2", o "3", o anche
"1111".

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Trovo il quesito estremamente intrigante.

Chi l'ha formulato ha scarsa dimestichezza con la definizione di
infinito. Siccome lo sviluppo di in numero irrazionale e' una sequenza
infinita allora suppone che da qualche parte ci sia qualsiasi
sottosequenza. Ma, per definizione, un insieme infinito e' sempre
infinito anche se gli sottrai un numero infinito di parti.

Quindi se prendi lo sviluppo decimale di un irrazionale in cui una certa
sequenza compare anche un numero infinito di volte e consideri il numero
che si ottiene togliendo quella sequenza, ottieni sempre un numero
irrazionale, ma in cui quella sequenza semplicemente non c'e'.

Per esempio, se dallo sviluppo decimale di pi greco togli la cifra '9',
da 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459...
ottieni 3.141526535873238462643383275028841716337510582074445... che e'
sempre irrazionale, ma che non contiene nessuna sequenza che contenga il
'9'.

Ciao

Andrea

[FB]

Grazie Andrea della chiara risposta.

Avevo pero' dimenticato (me ne scuso) di premettere che i numeri presi in
considerazione dovevano mostrare una distribuzione uniforme delle cifre,
ovvero devono essere "normali". Lo studio dello sviluppo decimale di
pigreco, almeno fino a dove di è calcolato, non ha mostrato scostamenti
significativi nella distribuzione delle cifre 0..9 rispetto a quanto
predetto dal calcolo combinatorio.

E' evidente che, citando il tuo esempio, se togliessimo tutti i 9 da
pigreco, non avremmo più unifirmità nella distribuzione delle cifre.

Rifaccio quindi la domanda con questa premessa : per i numeri "normali",
possiamo dire qualcosa circa l'esistenza o meno di ogni sequenza finita
possibile immaginabile di cifre ?

Post by Andrea Cervetti

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Espresso in italiano e non in gergo, cosa si può dire dell'affermazione
"qualunque sequenza "finita" di cifre 0..9 DEVE per forza esistere nello
sviluppo decimale di OGNI numero irrazioneale, e deve esistere un numero
INFINITO di volte ?

Che e' falsa.
Per esempio il numero 1,010010001000010000010000001..... e' irrazionale,
ma nel suo sviluppo non compare la sequenza di cifre "2", o "3", o anche
"1111".

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Trovo il quesito estremamente intrigante.

Chi l'ha formulato ha scarsa dimestichezza con la definizione di
infinito. Siccome lo sviluppo di in numero irrazionale e' una sequenza
infinita allora suppone che da qualche parte ci sia qualsiasi
sottosequenza. Ma, per definizione, un insieme infinito e' sempre
infinito anche se gli sottrai un numero infinito di parti.
Quindi se prendi lo sviluppo decimale di un irrazionale in cui una certa
sequenza compare anche un numero infinito di volte e consideri il numero
che si ottiene togliendo quella sequenza, ottieni sempre un numero
irrazionale, ma in cui quella sequenza semplicemente non c'e'.
Per esempio, se dallo sviluppo decimale di pi greco togli la cifra '9',
da 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459...
ottieni 3.141526535873238462643383275028841716337510582074445... che e'
sempre irrazionale, ma che non contiene nessuna sequenza che contenga il
'9'.
Ciao
Andrea

[Andrea Cervetti]

Post by FB
Grazie Andrea della chiara risposta.
Avevo pero' dimenticato (me ne scuso) di premettere che i numeri presi in
considerazione dovevano mostrare una distribuzione uniforme delle cifre,
ovvero devono essere "normali". Lo studio dello sviluppo decimale di
pigreco, almeno fino a dove di è calcolato, non ha mostrato scostamenti
significativi nella distribuzione delle cifre 0..9 rispetto a quanto
predetto dal calcolo combinatorio.
E' evidente che, citando il tuo esempio, se togliessimo tutti i 9 da
pigreco, non avremmo più unifirmità nella distribuzione delle cifre.
Rifaccio quindi la domanda con questa premessa : per i numeri "normali",
possiamo dire qualcosa circa l'esistenza o meno di ogni sequenza finita
possibile immaginabile di cifre ?

Ci penso un po' su, ma di primo acchito direi di no (se si parla di
contenere ogni possibile sequenza).

Considera lo sviluppo di pi greco, se togli la sequenza "1234567890"
ogni volta che compare (eventualmente iterando, perche' non e' detto che
la sequenza non compaia all'interno di una sequenza identica) otterrai
sempre una distribuzione statisticamente uniforme della cifre, ma non
troverai nessuna sequenza che contenga "1234567890"

Ci devo pensare, perche' non e' ovvio che togliendo una sequenza si
abbia ancora un numero irrazionale, anche se, nell'esempio che ho appena
riportato, mi pare di si'.

Ciao

Andrea

[FB]

E' vero che togliendo quella sequenza non influenzi la distribuzione delle
singole cifre, prese una ad una, ma influenzi la distribuzione delle
sequenze di 10 cifre. Quando cito che l'esame statistico di pi greco
effettuato fino ad oggi non ha rilevato discrepanze su quanto predetto a
priori dal calcolo combinatorio, mi riferisco proprio alle sequenze fino a
10 cifre (oltre no perchè non ci sono abbastanza cifre disponibili per
effettuare uno studio attendibile, in quanto, se si vuole analizzare la
distribuzione di sequenze di N cifre, è opportuno "lavorare" almeno con 10 ^
N cifre dello sviluppo.

Post by Andrea Cervetti

Post by FB
Grazie Andrea della chiara risposta.
Avevo pero' dimenticato (me ne scuso) di premettere che i numeri presi in
considerazione dovevano mostrare una distribuzione uniforme delle cifre,
ovvero devono essere "normali". Lo studio dello sviluppo decimale di
pigreco, almeno fino a dove di è calcolato, non ha mostrato scostamenti
significativi nella distribuzione delle cifre 0..9 rispetto a quanto
predetto dal calcolo combinatorio.
E' evidente che, citando il tuo esempio, se togliessimo tutti i 9 da
pigreco, non avremmo più unifirmità nella distribuzione delle cifre.
Rifaccio quindi la domanda con questa premessa : per i numeri "normali",
possiamo dire qualcosa circa l'esistenza o meno di ogni sequenza finita
possibile immaginabile di cifre ?

Ci penso un po' su, ma di primo acchito direi di no (se si parla di
contenere ogni possibile sequenza).
Considera lo sviluppo di pi greco, se togli la sequenza "1234567890"
ogni volta che compare (eventualmente iterando, perche' non e' detto che
la sequenza non compaia all'interno di una sequenza identica) otterrai
sempre una distribuzione statisticamente uniforme della cifre, ma non
troverai nessuna sequenza che contenga "1234567890"
Ci devo pensare, perche' non e' ovvio che togliendo una sequenza si
abbia ancora un numero irrazionale, anche se, nell'esempio che ho appena
riportato, mi pare di si'.
Ciao
Andrea

[Daghi]

Post by Andrea Cervetti

Post by FB
Avevo pero' dimenticato (me ne scuso) di premettere che i numeri presi in
considerazione dovevano mostrare una distribuzione uniforme delle cifre,
ovvero devono essere "normali". Lo studio dello sviluppo decimale di
pigreco, almeno fino a dove di è calcolato, non ha mostrato scostamenti
significativi nella distribuzione delle cifre 0..9 rispetto a quanto
predetto dal calcolo combinatorio.
E' evidente che, citando il tuo esempio, se togliessimo tutti i 9 da
pigreco, non avremmo più unifirmità nella distribuzione delle cifre.
Rifaccio quindi la domanda con questa premessa : per i numeri "normali",
possiamo dire qualcosa circa l'esistenza o meno di ogni sequenza finita
possibile immaginabile di cifre ?

Ci penso un po' su, ma di primo acchito direi di no (se si parla di
contenere ogni possibile sequenza).
Considera lo sviluppo di pi greco, se togli la sequenza "1234567890"
ogni volta che compare (eventualmente iterando, perche' non e' detto che
la sequenza non compaia all'interno di una sequenza identica) otterrai
sempre una distribuzione statisticamente uniforme della cifre, ma non
troverai nessuna sequenza che contenga "1234567890"

Considera poi che togliendo la sequenza che tu hai citato, potresti crearne
un'altra uguale. ad esempio:
.....12312345678904567890...
se togli la sequenza da te citata ottieni ancora ...1234567890...

daniele

[FB]

Si ma Andrea aveva correttamente specificato che l'operazione era da
effettuarsi ricorsivamente proprio per eliminare anche le sequenze
all'interno delle sequenze.

Per chiudere il discorso, cito il passo del libro "Contact" di Carl Sagan,
ove si dice che ad un certo punto, nello sviluppo di pogreco, compare una
sequenza di 1 milione di 0, un "1", ed un altro milione di 0. Io resto
fermamente convinto della tesi, ovvero che ogni sequenza finita di cifre
compaia effettivamente all'interno dello sviluppo di ogni numero irrazionale
"classico" (non costruito da algoritmi come 1010010001000....).....

Post by Daghi

Post by Andrea Cervetti

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Avevo pero' dimenticato (me ne scuso) di premettere che i numeri presi

in

Post by Andrea Cervetti

Post by FB
considerazione dovevano mostrare una distribuzione uniforme delle cifre,
ovvero devono essere "normali". Lo studio dello sviluppo decimale di
pigreco, almeno fino a dove di è calcolato, non ha mostrato scostamenti
significativi nella distribuzione delle cifre 0..9 rispetto a quanto
predetto dal calcolo combinatorio.
E' evidente che, citando il tuo esempio, se togliessimo tutti i 9 da
pigreco, non avremmo più unifirmità nella distribuzione delle cifre.
Rifaccio quindi la domanda con questa premessa : per i numeri "normali",
possiamo dire qualcosa circa l'esistenza o meno di ogni sequenza finita
possibile immaginabile di cifre ?

Ci penso un po' su, ma di primo acchito direi di no (se si parla di
contenere ogni possibile sequenza).
Considera lo sviluppo di pi greco, se togli la sequenza "1234567890"
ogni volta che compare (eventualmente iterando, perche' non e' detto che
la sequenza non compaia all'interno di una sequenza identica) otterrai
sempre una distribuzione statisticamente uniforme della cifre, ma non
troverai nessuna sequenza che contenga "1234567890"

Considera poi che togliendo la sequenza che tu hai citato, potresti crearne
.....12312345678904567890...
se togli la sequenza da te citata ottieni ancora ...1234567890...
daniele

[Andrea Cervetti]

Post by FB
Per chiudere il discorso, cito il passo del libro "Contact" di Carl Sagan,
ove si dice che ad un certo punto, nello sviluppo di pogreco, compare una
sequenza di 1 milione di 0, un "1", ed un altro milione di 0. Io resto
fermamente convinto della tesi, ovvero che ogni sequenza finita di cifre
compaia effettivamente all'interno dello sviluppo di ogni numero irrazionale
"classico" (non costruito da algoritmi come 1010010001000....).....

Liberissimo. Ma ti faccio notare che anche pi greco (o anche e) e'
costruito da algoritmi. O meglio, il loro sviluppo decimale viene
calcolato tramite algoritmi. Il numero 0,1010010001... sembra diverso
perche' appare regolare nel suo sviluppo, ma per esempio trascrivendolo
in un'altra base non lo sembra piu'. In base 16 diventa
0,19DB33984AF4BEECE6ADF0B203F199.... che, come vedi, appare abbastanza
casuale.

Ciao

Andrea