Begriff für die Menge aller Einschränkungen einer Funktion gesucht

[IV]

Hallo.

1.)
Gibt es einen Begriff für alle Funktionen mit x \mapsto T(x), worin T(x) der
Funktionsterm ist, den alle diese Funktionen gemeinsam haben?

2.)
Sei F eine Funktion. Gibt es einen Begriff für die Menge aller
Einschränkungen der Funktion F?

Danke.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Hallo.
1.)
Gibt es einen Begriff für alle Funktionen mit x \mapsto T(x), worin T(x) der
Funktionsterm ist, den alle diese Funktionen gemeinsam haben?

"Alle Funktionen, die en Funktionsterm T(x) gemeinsam haben"

Post by IV
2.)
Sei F eine Funktion. Gibt es einen Begriff für die Menge aller
Einschränkungen der Funktion F?

"Menge aller Einschränkungen der Funktion F"

hs

[Hans Crauel]

H0Iger SchuIz schrieb zu

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
Gibt es einen Begriff für alle Funktionen mit x \mapsto T(x), worin T(x) der
Funktionsterm ist, den alle diese Funktionen gemeinsam haben?

"Alle Funktionen, die en Funktionsterm T(x) gemeinsam haben"

Besser vielleicht "alle Funktionen, die mittels des Funktionsterms
T(x) dargestellt werden koennen". Das gibt aber keine "Einteilung"
von Funktionen, insofern eine Funktion, wie bereits festgestellt,
durch ganz unterschiedliche Terme dargestellt werden kann.

Nimmt man z.B. die Menge aller linearen Funktionen von R nach R,
so gibt der Funktionsterm T(x) = x(1) fuer ein Element x dieser
Menge die gleiche Funktion wie der Funktionsterm S(x) = x(pi)/pi,
ebenso wie U(x) = (x(5) - x(3))/2.

Hans

[IV]

Post by IV
Gibt es einen Begriff für alle Funktionen mit x \mapsto T(x), worin T(x)
der Funktionsterm ist, den alle diese Funktionen gemeinsam haben?

"Alle Funktionen, die den Funktionsterm T(x) gemeinsam haben"

Besser vielleicht "alle Funktionen, die mittels des Funktionsterms T(x)
dargestellt werden koennen". Das gibt aber keine "Einteilung" von
Funktionen, insofern eine Funktion, wie bereits festgestellt, durch ganz
unterschiedliche Terme dargestellt werden kann.
Nimmt man z.B. die Menge aller linearen Funktionen von R nach R, so gibt
der Funktionsterm T(x) = x(1) fuer ein Element x dieser Menge die gleiche
Funktion wie der Funktionsterm S(x) = x(pi)/pi, ebenso wie U(x) = (x(5) -
x(3))/2.

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck x(1)?

[Hans Crauel]

IV schrieb

Hans Crauel

Nimmt man z.B. die Menge aller linearen Funktionen von R nach R, so gibt
der Funktionsterm T(x) = x(1) fuer ein Element x dieser Menge die gleiche
Funktion wie der Funktionsterm S(x) = x(pi)/pi, ebenso wie U(x) = (x(5) -
x(3))/2.

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck x(1)?

Steht doch da. Die Funktionsterme definieren eine reellwertige
Abbildung auf der Menge aller linearen Funktionen von R nach R,
die Termvariable ist x, eine lineare Funktion von R nach R, die
in jedem r aus R ausgewertet werden kann.

Die durch die obigen Funktionsterme definierte Funktion ist
uebrigens zudem auch noch bijektiv.

Hans

[IV]

Post by IV
1.)
Gibt es einen Begriff für alle Funktionen mit x \mapsto T(x), worin T(x)
der Funktionsterm ist, den alle diese Funktionen gemeinsam haben?
2.)
Sei F eine Funktion. Gibt es einen Begriff für die Menge aller
Einschränkungen der Funktion F?

In der physikalischen Sprechweise für Funktionen würde man einfach sagen:
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt und hat
die Umkehrfunktion LambertW."
Wie würden Mathematiker das genauso kurz und ohne Betrachtung konkreter
Definitionsbereiche formulieren?

[IV]

Post by IV
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt und
hat die Umkehrfunktion LambertW."
Wie würden Mathematiker das genauso kurz und ohne Betrachtung konkreter
Definitionsbereiche formulieren?

Ändern wir den Funktionsterm im Beispielsatz, damit er Sinn bekommt:
In der physikalischen Sprechweise für Funktionen würde man einfach sagen:
"Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt und hat
die Umkehrfunktion LambertW."
Wie würden Mathematiker das genauso kurz und ohne Betrachtung konkreter
Definitionsbereiche formulieren?

[Jens Schweikhardt]

IV <***@onlinehome.de> wrote
in <pl8v26$4kq$***@news.albasani.net>:
# Ändern wir den Funktionsterm im Beispielsatz, damit er Sinn bekommt:
# In der physikalischen Sprechweise für Funktionen würde man einfach sagen:
# "Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt und hat
# die Umkehrfunktion LambertW."
# Wie würden Mathematiker das genauso kurz und ohne Betrachtung konkreter
# Definitionsbereiche formulieren?

"Die Funktion xe^x ist das Produkt aus x und e^x."

Als Physiker habe ich für Funktionen noch niemanden "ist
zusammengesetzt" sagen hören. Aber ich höre nicht alles und jeden...


Regards,

Jens

[IV]

Post by Jens Schweikhardt

Post by IV
"Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt und
hat die Umkehrfunktion LambertW."
Wie würden Mathematiker das genauso kurz und ohne Betrachtung konkreter
Definitionsbereiche formulieren?

"Die Funktion xe^x ist das Produkt aus x und e^x."
Als Physiker habe ich für Funktionen noch niemanden "ist zusammengesetzt"
sagen hören. Aber ich höre nicht alles und jeden...

Und wie würde man in der physikalischen Sprechweise
(https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen)
ausdrücken, daß sin(exp(x)) etwas mit sin und exp zu tun hat?

[Jens Schweikhardt]

IV <***@onlinehome.de> wrote
in <plbpg2$hpk$***@news.albasani.net>:
# "Jens Schweikhardt" schrieb im Newsbeitrag
# news:***@mid.individual.net...
#>>> In der physikalischen Sprechweise für Funktionen würde man einfach
#>>> sagen:
#>>> "Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt und
#>>> hat die Umkehrfunktion LambertW."
#>>> Wie würden Mathematiker das genauso kurz und ohne Betrachtung konkreter
#>>> Definitionsbereiche formulieren?
#> "Die Funktion xe^x ist das Produkt aus x und e^x."
#> Als Physiker habe ich für Funktionen noch niemanden "ist zusammengesetzt"
#> sagen hören. Aber ich höre nicht alles und jeden...
# Und wie würde man in der physikalischen Sprechweise
# (https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen)
# ausdrücken, daß sin(exp(x)) etwas mit sin und exp zu tun hat?

Man würde, um sinnlose Ausdrücke zu vermeiden, niemals Gummiwörter wie
"etwas zu tun" benutzen. Es gibt nämlich eine unendlich große Klasse von
Funktionen, die "etwas" mit sin und exp "zu tun" haben.

Im konkreten Falle würde man die Funktion hinschreiben.

Die Lösungen der onlinehomischen Differentialgleichung IV. Klasse
haben die Form

f(x) = a sin(b * e^cx + d) mit a,b,c,d aus |R

"

Den allgemeinen Fall mit "f nach g", geschrieben "f o g" hat man Dir
hier schon nahegebracht.

Regards,

Jens

[IV]

Post by Jens Schweikhardt

Post by IV
Und wie würde man in der physikalischen Sprechweise
(https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen)
ausdrücken, daß sin(exp(x)) etwas mit sin und exp zu tun hat?

Man würde, um sinnlose Ausdrücke zu vermeiden, niemals Gummiwörter wie
"etwas zu tun" benutzen. Es gibt nämlich eine unendlich große Klasse von
Funktionen, die "etwas" mit sin und exp "zu tun" haben.
Im konkreten Falle würde man die Funktion hinschreiben.

Man würde "etwas mit sin und exp zu tun haben" ausdrücken als "sin(exp(x))
ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die Funktion sin(exp(x))
ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf die Funktion exp". Und
damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur für den Fall
codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen Fall nicht
immer erfüllt ist.

Post by Jens Schweikhardt
Den allgemeinen Fall mit "f nach g", geschrieben "f o g" hat man Dir hier
schon nahegebracht.

Wie oben gesagt, ist die Komposition hier nicht relevant, da sie
Anforderungen an die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen stellt,
die hie im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt sind, wie ich hier schon
nahegebracht hatte.

[Jens Schweikhardt]

IV <***@onlinehome.de> wrote
in <plcjnb$omc$***@news.albasani.net>:
# "Jens Schweikhardt" schrieb im Newsbeitrag
# news:***@mid.individual.net...
#>> Und wie würde man in der physikalischen Sprechweise
#>> (https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen)
#>> ausdrücken, daß sin(exp(x)) etwas mit sin und exp zu tun hat?
#> Man würde, um sinnlose Ausdrücke zu vermeiden, niemals Gummiwörter wie
#> "etwas zu tun" benutzen. Es gibt nämlich eine unendlich große Klasse von
#> Funktionen, die "etwas" mit sin und exp "zu tun" haben.
#> Im konkreten Falle würde man die Funktion hinschreiben.
# Man würde "etwas mit sin und exp zu tun haben" ausdrücken als "sin(exp(x))
# ist zusammengesetzt aus sin und exp"

Nein, das würde man nicht, weil es die exakte und für jeden Primaner
verständliche Notation "sin(exp(x))" durch einen undefinierten (und
schwer zu definierenden Terminus "ist zusammengesetzt aus" in Gestammel
verwandeln würde. "1/(1+x) is zusammengesetzt aus nem Bruchstrich und
Polynomen höchstens ersten Grades" wird auch nirgends zu finden sein.
Warum exakte Information durch Wischiwaschi vernichten?

Warum reitest Du eigentlich so auf der Transmogrifikation[*] von Termen in
Zeichenketten deutscher Sprache herum? Zeitigt das irgendeinen
mathematischen Gewinn?

[*]
http://calvinandhobbes.wikia.com/wiki/Transmogrifier
Loading Image...
http://www.johnrobertferguson.com/transmogrifier/

Regards,

Jens

[IV]

Post by Jens Schweikhardt

Post by IV
Man würde "etwas mit sin und exp zu tun haben" ausdrücken als
"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp"

Nein, das würde man nicht, weil es die exakte und für jeden Primaner
verständliche Notation "sin(exp(x))" durch einen undefinierten (und schwer
zu definierenden Terminus "ist zusammengesetzt aus" in Gestammel
verwandeln würde. "1/(1+x) is zusammengesetzt aus nem Bruchstrich und
Polynomen höchstens ersten Grades" wird auch nirgends zu finden sein.
Warum exakte Information durch Wischiwaschi vernichten?

Na gut, es gibt keine zusammengesetzten Funktionen und keine
zusammengesetzten Terme:

https://www.google.com/search?q=%22zusammengesetzte+Funktion*%22&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:de-DE:IE-Address&ie=&oe=

https://www.google.com/search?num=100&newwindow=1&rls=com.microsoft%3Ade-DE%3AIE-Address&ei=MDt8W-SHBouN0PEPn-yxiAw&q=%22Funktion+zusammengesetzt%22&oq=%22Funktion+zusammengesetzt%22&gs_l=psy-ab.3..0i22i30k1l10.159952.168248.0.169110.30.26.4.0.0.0.291.4316.0j17j6.23.0....0...1c.1.64.psy-ab..3.25.4060...0j0i131k1j0i67k1j0i131i67k1j0i10k1j0i13k1j0i13i30k1.0.LRF8QzpZhMs

https://www.google.com/search?num=100&newwindow=1&rls=com.microsoft%3Ade-DE%3AIE-Address&ei=4zt8W9OALfTA0PEPzvuCcA&q=%22function+composed%22&oq=%22function+composed%22&gs_l=psy-ab.3..0i19k1l2j0i22i30i19k1l3j0i22i10i30i19k1j0i22i30i19k1j0i22i10i30i19k1l3.29380.34714.0.35086.19.19.0.0.0.0.198.3211.0j19.19.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.18.2948...0j0i131k1j0i67k1j0i10i67k1j0i10k1j0i22i30k1.0.mkC4gimZpm0

Composite Functions:
http://www.mesacc.edu/~pikeu/mat120/notes/composition/composite_functions_intro.pdf

Post by Jens Schweikhardt
Warum reitest Du eigentlich so auf der Transmogrifikation[*] von Termen in
Zeichenketten deutscher Sprache herum? Zeitigt das irgendeinen
mathematischen Gewinn?

Oh ja: Weil ich als Laie nicht mathematisch korrekt formulieren kann,
versuche ich mich in Deutsch auszudrücken, das Publikum hier aber versteht
nur Mathematisch - und zwar bei beinahe jedem(!) Wort, außer vielleicht bei
den Artikeln. Begriffe in " " sind deshalb bei mir Begriffe in Deutsch, und
Begriffe in ' ' sind bei mir mathematische Begriffe, die einer Definition
durch mich bedürfen.

[Hans Crauel]

JÃŒrgen "IV" Will schrieb

Post by IV
https://www.google.com/search?q=%22zusammengesetzte+Funktion*%22&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:de-DE:IE-Address&ie=&oe=
https://www.google.com/search?num=100&newwindow=1&rls=com.microsoft%3Ade-DE%3AIE-Address&ei=MDt8W-SHBouN0PEPn-yxiAw&q=%22Funktion+zusammengesetzt%22&oq=%22Funktion+zusammengesetzt%22&gs_l=psy-ab.3..0i22i30k1l10.159952.168248.0.169110.30.26.4.0.0.0.291.4316.0j17j6.23.0....0...1c.1.64.psy-ab..3.25.4060...0j0i131k1j0i67k1j0i131i67k1j0i10k1j0i13k1j0i13i30k1.0.LRF8QzpZhMs
https://www.google.com/search?num=100&newwindow=1&rls=com.microsoft%3Ade-DE%3AIE-Address&ei=4zt8W9OALfTA0PEPzvuCcA&q=%22function+composed%22&oq=%22function+composed%22&gs_l=psy-ab.3..0i19k1l2j0i22i30i19k1l3j0i22i10i30i19k1j0i22i30i19k1j0i22i10i30i19k1l3.29380.34714.0.35086.19.19.0.0.0.0.198.3211.0j19.19.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.18.2948...0j0i131k1j0i67k1j0i10i67k1j0i10k1j0i22i30k1.0.mkC4gimZpm0

Das sind Sprechweisen, die bei der Einfuehrung und Einuebung von
Rechentechniken in der Mittelstufe verwendet werden. Die Begriffe
Addition und Multiplikation als Gruppenverknuepfungen stehen dort
noch nicht zur Verfuegung, man muss sich anders behelfen.

Ein Verweis auf Rechenseiten auf Schulniveau als Beleg ist in
de.sci.math nicht so recht angebracht.

Post by IV
http://www.mesacc.edu/~pikeu/mat120/notes/composition/composite_functions_intro.pdf

Da wird die Komposition bzw. Hintereinanderausfuehrung von Funktionen
eingefuehrt. Mit `zusammengesetzten Funktionen' hat das nichts zu tun.

Hans

[IV]

Post by Hans Crauel
Das sind Sprechweisen, die bei der Einfuehrung und Einuebung von
Rechentechniken in der Mittelstufe verwendet werden. Die Begriffe Addition
und Multiplikation als Gruppenverknuepfungen stehen dort noch nicht zur
Verfuegung, man muss sich anders behelfen.
Ein Verweis auf Rechenseiten auf Schulniveau als Beleg ist in de.sci.math
nicht so recht angebracht.

Entschuldige, daß ich diese Links nicht vorher aussortiert habe.
Wie ich hier schon an anderer Stelle gesagt habe: Der Begriff
"zusammengesetzte Funktion" wird bei der Kettenregel der Differentiation
eingeführt und wird von Mathematik-Laien auch später immer dann benutzt,
wenn Funktionen hintereinander ausgeführt werden. Wer von denen sich nicht
im mathematischen Detail mit der Komposition beschäftigt, sagt nicht
"Komposition", sondern "zusammengesetzte Funktion".
Einen Link auf die Definition "zusammengesetzte Funktion" in einem Lehrbuch
zur Angewandten Mathematik hatte ich schon angegeben.

Post by Hans Crauel

Post by IV
http://www.mesacc.edu/~pikeu/mat120/notes/composition/composite_functions_intro.pdf

Da geht es gar nicht um Funktionen, denn, wenn ich das richtig gesehen habe,
ist da nirgends die Rede von Definitionsbereichen oder Wertebereichen.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by Hans Crauel
Das sind Sprechweisen, die bei der Einfuehrung und Einuebung von
Rechentechniken in der Mittelstufe verwendet werden. Die Begriffe Addition
und Multiplikation als Gruppenverknuepfungen stehen dort noch nicht zur
Verfuegung, man muss sich anders behelfen.
Ein Verweis auf Rechenseiten auf Schulniveau als Beleg ist in de.sci.math
nicht so recht angebracht.

Entschuldige, daß ich diese Links nicht vorher aussortiert habe.
Wie ich hier schon an anderer Stelle gesagt habe: Der Begriff
"zusammengesetzte Funktion" wird bei der Kettenregel der Differentiation
eingeführt

_Wird_ eingeführt? Wer macht das? Quelle?

Post by IV
und wird von Mathematik-Laien auch später immer dann benutzt,
wenn Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Können die ja machen. Die können auch von Bananen sprechen, wenn sie
Äpfel meinen. Wenn's schee macht.

Post by IV
Wer von denen sich nicht
im mathematischen Detail mit der Komposition beschäftigt, sagt nicht
"Komposition", sondern "zusammengesetzte Funktion".

Quelle?

Post by IV
Einen Link auf die Definition "zusammengesetzte Funktion" in einem Lehrbuch
zur Angewandten Mathematik hatte ich schon angegeben.

Die Definition kannste ja übernehmen, wenn sie dir gefällt. Das sit aber
keine Rechtfertigung "Zusammensetzung" und "Komposition" durcheinander
zu werfen.

[Hans CraueI]

Jürgen "IV" Will schrieb

Post by IV
Wie ich hier schon an anderer Stelle gesagt habe: Der Begriff
"zusammengesetzte Funktion" wird bei der Kettenregel der Differentiation
eingeführt

und zwar im Sinne von Hintereinanderausfuehrung bzw. Komposition,
sonst waere es dafuer unbrauchbar

Post by IV
und wird von Mathematik-Laien auch später immer dann benutzt,
wenn Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Also ein anderes Wort fuer Hintereinanderausfuehrung.
Soll nun das, was Mathematik-Laien machen, Richtschnur
fuer das werden, was in der Mathematik gemacht wird?

Post by IV
Wer von denen sich nicht im mathematischen Detail mit der
Komposition beschäftigt, sagt nicht "Komposition", sondern
"zusammengesetzte Funktion".

Die mathematischen Details sind ganz genau die gleichen.
Vielleicht moechte man so ein bedrohlich fremdlaendisches
Wort wie Komposition bzw. ein so ellenlanges Wort wie
Hintereinanderausfuehrung vermeiden, indem man das
vertrauter klingende Wort Zusammensetzung verwendet?

Post by IV
Einen Link auf die Definition "zusammengesetzte Funktion" in
einem Lehrbuch zur Angewandten Mathematik hatte ich schon
angegeben.

In Abgrenzung zu Hintereinanderausfuehrung?

Post by IV

Post by IV
http://www.mesacc.edu/~pikeu/mat120/notes/composition/composite_functions_intro.pdf

Da geht es gar nicht um Funktionen, denn, wenn ich das richtig gesehen habe,
ist da nirgends die Rede von Definitionsbereichen oder Wertebereichen.

Ist halt auf Mittelstufenniveau, da geht es meist ziemlich
prae-mathematisch zu. Wozu bringt ihr sowas in de.sci.math
ein?

Hans

[IV]

Post by Hans CraueI

Post by IV
Einen Link auf die Definition "zusammengesetzte Funktion" in einem
Lehrbuch zur Angewandten Mathematik hatte ich schon angegeben.

In Abgrenzung zu Hintereinanderausfuehrung?

Kurt Marti, Detlef Gröger: Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und
Wirtschaftswissenschaftler. Springer, 2013
https://books.google.de/books?id=KYEkBgAAQBAJ&vq=zusammengesetzt*&dq=Marti+Gr%C3%B6ger+%22Grundkurs+Mathematik+f%C3%BCr+Ingenieure,+Natur-+und+Wirtschaftswissenschaftler%22&hl=de&source=gbs_navlinks_s
dort: zusammengesetzte Funktionen

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by Hans CraueI

Post by IV
Einen Link auf die Definition "zusammengesetzte Funktion" in einem
Lehrbuch zur Angewandten Mathematik hatte ich schon angegeben.

In Abgrenzung zu Hintereinanderausfuehrung?

Kurt Marti, Detlef Gröger: Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und
Wirtschaftswissenschaftler. Springer, 2013
https://books.google.de/books?id=KYEkBgAAQBAJ&vq=zusammengesetzt*&dq=Marti
+Gr%C3%B6ger+%22Grundkurs+Mathematik+f%C3%BCr+Ingenieure,+Natur-+und+Wirts
zusammengesetzte Funktionen

So, jetzt Butter bei die Fische. Soll das die Definition sein, die du
für den Begriff "zusammengesetze Funktion" zu Grunde legst? Dann zitiere
sie entsprechend. Ich würde sie nicht als kanonisch betrachten.

hs

[Hans Crauel]

Jürgen "IV" Will schrieb

Post by IV

Post by Hans CraueI

Post by IV
Einen Link auf die Definition "zusammengesetzte Funktion" in einem
Lehrbuch zur Angewandten Mathematik hatte ich schon angegeben.

In Abgrenzung zu Hintereinanderausfuehrung?

Kurt Marti, Detlef Gröger: Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und
Wirtschaftswissenschaftler. Springer, 2013

Erst einmal ist das kein "Lehrbuch zur Angewandten Mathematik",
sondern ein Methodenbuch.

Die dort gegebene Definition 17.1 "zusammengesetzter Funktionen"
ist die uebliche der Komposition bzw. Hintereinanderausfuehrung
in einer minimalen Variation, insofern fuer g o f nicht von
vornherein gefordert wird, dass Bild(f) Teilmenge von DefB(g)
ist, sondern g o f nur auf dem Teil von DefB(f) definiert
wird, fuer den das Bild unter f in DefB(g) liegt (fuer den
zudem eigens vorausgesetzt wird, dass er nicht leer ist).

Da findet sich keine Abgrenzung zur Hintereinanderausfuehrung.

Hans

[IV]

Die dort gegebene Definition 17.1 "zusammengesetzter Funktionen" ist die
uebliche der Komposition bzw. Hintereinanderausfuehrung in einer minimalen
Variation, insofern fuer g o f nicht von vornherein gefordert wird, dass
Bild(f) Teilmenge von DefB(g) ist, sondern g o f nur auf dem Teil von
DefB(f) definiert wird, fuer den das Bild unter f in DefB(g) liegt (fuer
den zudem eigens vorausgesetzt wird, dass er nicht leer ist).
Da findet sich keine Abgrenzung zur Hintereinanderausfuehrung.

Nur, daß Gliedfunktionen verwendet werden dürfen die für die Komposition
nicht verwendet werden dürfen.

[Hans Crauel]

Jürgen Will und IV schrieben

Hans Crauel schrieb

Die dort gegebene Definition 17.1 "zusammengesetzter Funktionen" ist die
uebliche der Komposition bzw. Hintereinanderausfuehrung in einer minimalen
Variation, insofern fuer g o f nicht von vornherein gefordert wird, dass
Bild(f) Teilmenge von DefB(g) ist, sondern g o f nur auf dem Teil von
DefB(f) definiert wird, fuer den das Bild unter f in DefB(g) liegt (fuer
den zudem eigens vorausgesetzt wird, dass er nicht leer ist).
Da findet sich keine Abgrenzung zur Hintereinanderausfuehrung.

Nur, daß Gliedfunktionen verwendet werden dürfen die für die Komposition
nicht verwendet werden dürfen.

Nein, das stimmt nicht. Es ist nichts als die uebliche Komposition
fuer die maximal moegliche Einschraenkung der ersten Funktion.

Fuer zwei beliebige Funktionen f : X -> Y und g : Y -> Z ist

g o f definiert als g o f|Y',
wobei Y' = {y in Y : f(y) in DefB(g)};

vorausgesetzt wird dabei, dass Y' nicht leer ist.

Das ist keine wesentlich andere Definition als die Komposition.
Wenn man solch eine leichte Verallgemeinerung des Begriffs
Komposition irgendwo brauchen sollte, wuerde man das in der
Einfuehrung kurz vermerken. Man muss in der Folge nicht mehr
voraussetzen, dass f(Y) Teilmenge von DefB(g) ist, sondern nur,
dass der Durchschnitt von f(Y) und DefB(g) nicht leer ist.
Es bleibt eine Komposition, nur eben mit einer angepassten
Einschraenkung.

Hans

[H0Iger SchuIz]

Post by Hans Crauel
Jürgen "IV" Will schrieb

Post by IV
Wie ich hier schon an anderer Stelle gesagt habe: Der Begriff
"zusammengesetzte Funktion" wird bei der Kettenregel der Differentiation
eingeführt

und zwar im Sinne von Hintereinanderausfuehrung bzw. Komposition,
sonst waere es dafuer unbrauchbar

Jürgen hat nach meiner Zählung mindestens drei verschiedene Versuche
einer Definition von "Zusammensetzung" bzw. "zusammengesetzte Funktion"
unternommen. Ihnen gemein war allerdings, dass es etwas gänzlich anderes
als die Komposition sein sollte. Nun ist Zusammensetzung dann aber doch
nur eine Amateur-Synonym für Komposition. Der Typ hat kein Problem mit
Mathematik, as liegt tiefer.

hs

[IV]

hat nach meiner Zählung mindestens drei verschiedene Versuche einer
Definition von "Zusammensetzung" bzw. "zusammengesetzte Funktion"
unternommen. Ihnen gemein war allerdings, dass es etwas gänzlich anderes
als die Komposition sein sollte. Nun ist Zusammensetzung dann aber doch
nur eine Amateur-Synonym für Komposition. Der Typ hat kein Problem mit
Mathematik, es liegt tiefer.

Ja, wir hatten hier festgestellt, daß "zusammengesetzte Funktionen" keine
Klasse von Funktionen ist, sondern daß "zusammengesetzte Funktionen"
Funktionen sind, die als zusammengesetzt dargestellt werden. Keine Ahnung,
wie man den Begriff der "Darstellung von Funktionen" mathematisch fassen
könnte. Da solltet Ihr Euch mit auskennen.
Und wir hatten hier festgestellt,
- daß mehrere Definitionen geeignet sind, den Begriff "zusammengesetzte
Funktionen" zu definieren,
- daß "zusammengesetzte Funktionen" auch durch algebraische Operationen
(gleich algebraische Funktionen) zusammengesetzt sein können, und
- daß eine Funktion als Komposition nur mit bestimmten Gliedfunktionen
dargestellt werden kann, als zusammengesetzte Funktion jedoch mit
Gliedfunktionen mit weiteren Definitionsbereichen.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Oh ja: Weil ich als Laie nicht mathematisch korrekt formulieren kann,

Dann lern's. Dazu sollte man sich zunächst an den Standardformulierungen
abarbeiten.

Post by IV
versuche ich mich in Deutsch auszudrücken, das Publikum hier aber versteht
nur Mathematisch

Publikum nennst du deine Gesprächspartner, von denen du Hilfe möchtest?
Meinst du tatsächlich, dass deine Beiträge einen derartigen
Unterhaltungswert haben?

In Abrede zu stellen, dass andere hier Deutsch verstünden, ist schon
eine ziemliche Frechheit.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
versuche ich mich in Deutsch auszudrücken, das Publikum hier aber
versteht nur Mathematisch

Publikum nennst du deine Gesprächspartner, von denen du Hilfe möchtest?

Entschuldigung, daß ich auch diesen Begriff nicht vorher exakt definiert
habe.

Post by H0Iger SchuIz
In Abrede zu stellen, dass andere hier Deutsch verstünden, ist schon eine
ziemliche Frechheit.

Du zumindest tust hier so, als würdest Du nur Mathematisch verstehen.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
versuche ich mich in Deutsch auszudrücken, das Publikum hier aber
versteht nur Mathematisch

Publikum nennst du deine Gesprächspartner, von denen du Hilfe möchtest?

Entschuldigung, daß ich auch diesen Begriff nicht vorher exakt definiert
habe.

Post by H0Iger SchuIz
In Abrede zu stellen, dass andere hier Deutsch verstünden, ist schon eine
ziemliche Frechheit.

Du zumindest tust hier so, als würdest Du nur Mathematisch verstehen.

Nein, tue ich nicht.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
Du zumindest tust hier so, als würdest Du nur Mathematisch verstehen.

Nein, tue ich nicht.

Seit ich mein Deutsch extra markiere, werde ich wenigstens halbwegs
verstanden.

[Hans Crauel]

Jürgen "IV" Will schrieb

"H0Iger SchuIz" schrieb

Post by H0Iger SchuIz
Publikum nennst du deine Gesprächspartner, von denen du Hilfe möchtest?

Entschuldigung, daß ich auch diesen Begriff nicht vorher exakt definiert
habe.

Ich teile H0Igers Befremden ueber die aus der von euch gewaehlten
Bezeichnung eurer Gespraechspartner als "Publikum" ersichtlich
werdenden Haltung. Wollt ihr hier denn den Pausenclown geben?

Post by H0Iger SchuIz
In Abrede zu stellen, dass andere hier Deutsch verstünden, ist schon eine
ziemliche Frechheit.

Du zumindest tust hier so, als würdest Du nur Mathematisch verstehen.

Klare Formulierungen sind auch in Deutsch moeglich. Wenn es jedoch
an der Klarheit fehlt, kommt es auf die Sprache nicht an. Da hilft
dann auch ein LaTeX-Scheincode nicht weiter.

Hans

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Und
damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur für den Fall
codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen Fall nicht
immer erfüllt ist.

Das dürfte sogar eine grammatikalisch Korrekte Wortfolge sein. Aber
sonst? Was will man uns hiermit sagen? Wenn man nur mit Termen hantiert,
sollte man es dabei belassen. Wenn etwas keine Komposition sein soll,
sollte man auch nicht die Schreibweisen für Kompositionen, aka
Hintereinanderausführungen, verwenden. Und bei Ausdrücken, die keinen
Sinn ergeben, muss man sich auch keinen Kopp darüber machen, wie man in
der quadronischen Sprechweise über sie philosophiert.

hs

[Hans Crauel]

JÃŒrgen "IV" Will schrieb

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die Funktion
sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf die Funktion
exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur fÃŒr
den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen
Fall nicht immer erfÃŒllt ist.

Was soll denn codom(exp) sein? Natuerlich kann man exp als Funktion
mit Bildbereich (C vereinigt Irgendwas) betrachten, so dass sin dort
nicht definiert ist. Doch wozu sollte man das tun?

Sinnvoll ist sin(exp(x)) fuer jedes x aus C^{d\times d}, d in N
beliebig, definierbar, und zwar als Komposition von sin und exp (man
setzt dazu sin x = 1/2i (exp(ix) - exp(-ix)) fuer eine quadratische
Matrix x).

Hans

[IV]

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die Funktion
sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf die Funktion
exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur für
den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen
Fall nicht immer erfüllt ist.

Was soll denn codom(exp) sein? Natuerlich kann man exp als Funktion mit
Bildbereich (C vereinigt Irgendwas) betrachten, so dass sin dort nicht
definiert ist. Doch wozu sollte man das tun?

Um Mathematik zu betreiben?
Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als Zielmenge
hat?
Weil exp eben keine Funktion ist, sondern eine Familie von Funktionen, da DB
und WB nicht (in Deutsch:) spezifiziert sind?

[Hans Crauel]

JÃŒrgen "IV" Will schrieb

Post by IV

Post by Hans Crauel
Was soll denn codom(exp) sein?

Antwort bitte.

Post by IV

Post by Hans Crauel
Natuerlich kann man exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten, so dass sin dort nicht definiert ist.
Doch wozu sollte man das tun?

Um Mathematik zu betreiben?

Davon verstehst du eigenem Bekunden zufolge nichts, darum
lass es lieber, solange die erforderlichen Grundlagen nicht
vorhanden sind.

Post by IV
Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C}
als Zielmenge hat?

Wozu sollte man das brauchen?

Post by IV
Weil exp eben keine Funktion ist, sondern eine Familie von
Funktionen, da DB und WB nicht (in Deutsch:) spezifiziert sind?

Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der
Definition von (exp o sin)?

Hans

[IV]

"Hans Crauel" schrieb im Newsbeitrag news:plhgkk$mcc$***@dont-email.me...
geboren am, wohnhaft in, vom Institut für Mathematik

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Was soll denn codom(exp) sein?

Antwort bitte.

exp ist eine Funktion, ihr Definitionsbereich und ihr Zielbereich
(codom(exp)) ist nicht angegeben.

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Natuerlich kann man exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten, so dass sin dort nicht definiert ist.
Doch wozu sollte man das tun?

Um Mathematik zu betreiben?

Davon verstehst du eigenem Bekunden zufolge nichts, darum lass es lieber,
solange die erforderlichen Grundlagen nicht vorhanden sind.

Habe ich gesagt, daß ich exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten will oder daß ich Mathematik betreiben will?

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als
Zielmenge hat?

Wozu sollte man das brauchen?

Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als Zielmenge
hat?
Um Mathematik zu betreiben?
Um Aussagen für den allgemeinen Fall zu treffen?

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Weil exp eben keine Funktion ist, sondern eine Familie von Funktionen, da
DB und WB nicht (in Deutsch:) spezifiziert sind?

Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(exp o sin)?

Gehört das noch zum Thema? (Oder war das nur ein rasch aus der Luft
gegriffenes Beispiel für eine zusammengesetzte Funktion?)
(Definiere mathematisch "Probleme".)

[Hans Crauel]

J\"urgen "IV" Will schrieb

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Was soll denn codom(exp) sein?

Antwort bitte.

exp ist eine Funktion, ihr Definitionsbereich und ihr Zielbereich
(codom(exp)) ist nicht angegeben.

Und was soll dann nun codom(exp) sein? Gib doch mal ein
Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als
Zielmenge hat?

Wozu sollte man das brauchen?

Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als
Zielmenge hat?

Die Wiederholung einer unklaren Aussage, nach deren Bedeutung
nachgefragt wird, gilt im Deutschen als gaenzlich ungehoerig.

Noch einmal: Was geht schief, wenn man die Hintereinanderausfuehrung
Sinus nach Exponentialfunktion anwenden will, weil man nicht ganz R
oder ganz C als Wertebereich von exp (auf R bzw. C) hat?

Post by IV

Post by Hans Crauel
Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(exp o sin)?

Gehört das noch zum Thema?

Das war ein Versehen. (Die Antwort ist allerdings banal.)
Hier die Richtigstellung:

Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition
von (sin o exp)?

Hans

[IV]

"Hans Crauel" schrieb im Newsbeitrag news:plhmll$4ms$***@dont-email.me...
(Es gibt eine Reihe von guten und triftigen Gründen, im Internet keine
Klarnamen zu verwenden.)

Post by Hans Crauel

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.

Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Gehört das noch zum Thema?

[Hans CraueI]

Jürgen "IV" Will schrieb

Post by IV

Post by Hans Crauel

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.

Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Gehört das noch zum Thema?

Wuerde ich denn sonst fragen? Was meint ihr wohl? Ihr wart es doch,
die da schriebt

| "sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die Funktion
| sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf die Funktion
| exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur für
| den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen
| Fall nicht immer erfüllt ist.

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer
Teilmenge von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

Hans

[IV]

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf
die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.
Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.
Beispiel 1:
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
als Komposition dargestellt:
g: {2} -> {exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x) = sin(exp(x))
g ist hier eine andere Funktion als oben.
Beispiel 2:
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(3), exp(4)} -> {sin(exp(3)), sin(exp(4))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
F ist eine leere Funktion auf die leere Menge.
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
als Komposition dargestellt:
g: {} -> {}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x)
g ist hier eine andere Funktion als oben.

[Hans Crauel]

Jürgen Will in Einheit mit "IV" schrieben

Hans CraueI schrieb

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.

Eben. Wird bei Standardfunktionen kein Definitionsbereich
angegeben, so geht man dabei regelmaessig von dem groessten
Definitionsbereich aus, auf dem sie im jeweiligen Kontext
definiert sind. Wird fuer F ein Definitionsbereich benannt,
so muss F dort definierbar sein. Weder im Kontext reeller
Funktionen noch im Kontext komplexer Funktionen noch im
Kontext matrixwertiger Funktionen gibt es bei der durch
F(x) = (sin o exp)(x) definierten Funktion dabei Probleme.

Die Beispiele (die viel einfacher mit der Einschraenkung
von Sinus auf (-infty,r], r eine reelle Zahl, beschreibbar
sind) brechen grundlos und ohne Sinn mit der Standardannahme
von auf im Kontext maximalen Definitionsbereichen von
Standardfunktionen.
Die Verwendung der Bezeichnungen codom(exp) und dom(sin) ist
irrefuehrend, weil damit suggeriert wird, dass Bezug auf die
Standardfunktionen exp und sin genommen wird. Diese werden
regelmaessig als Funktionen von R nach R bzw. von C nach C
definiert. Man koennte das schon als Missbrauch bezeichnen.

Hans

[B***@outlook.de]

Post by IV

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf
die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.
Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {2} -> {exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x) = sin(exp(x))
g ist hier eine andere Funktion als oben.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(3), exp(4)} -> {sin(exp(3)), sin(exp(4))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
F ist eine leere Funktion auf die leere Menge.
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {} -> {}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x)
g ist hier eine andere Funktion als oben.

Könntest du bitte die Fehler in den Beispielen beheben und hinschreiben, für
welche deiner Behauptungen die Beispiele gelten sollen?
Ausserdem kannst du dir endlich einmal angewöhnen, unterschiedliche
Namen für unterschiedliche Objekte zu verwenden, dann ist nämlich
"g ist hier eine andere Funktion als oben." überflüssig.

[IV]

Post by IV

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf
die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.
Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {2} -> {exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x) = sin(exp(x))
g ist hier eine andere Funktion als oben.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(3), exp(4)} -> {sin(exp(3)), sin(exp(4))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
F ist eine leere Funktion auf die leere Menge.
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {} -> {}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x)
g ist hier eine andere Funktion als oben.
Könntest du bitte die Fehler in den Beispielen beheben

Das könnte ich, wenn ich die Fehler sehen würde. Wo sind Fehler?

Post by IV
und hinschreiben für welche deiner Behauptungen die Beispiele gelten
sollen?

"sagt also, dass codom(exp) 'im allgemeinen Fall' nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.""

Ausserdem kannst du dir endlich einmal angewöhnen, unterschiedliche Namen
für unterschiedliche Objekte zu verwenden, dann ist nämlich "g ist hier
eine andere Funktion als oben." überflüssig.

Mathematik-Amateuren fällt es leichter, Bekanntes mit den bereits bekannten
Bezeichnern zu benennen und nicht ständig die Bezeichner zu wechseln.

[B***@outlook.de]

Post by IV

Post by IV

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf
die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.
Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {2} -> {exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x) = sin(exp(x))
g ist hier eine andere Funktion als oben.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(3), exp(4)} -> {sin(exp(3)), sin(exp(4))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
F ist eine leere Funktion auf die leere Menge.
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {} -> {}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x)
g ist hier eine andere Funktion als oben.
Könntest du bitte die Fehler in den Beispielen beheben

Das könnte ich, wenn ich die Fehler sehen würde. Wo sind Fehler?

Generell MUSS der Definitionsbereich von F mit dem von g übereinstimmen.
Damit ist F im ersten Abschnitt beider Beispiele keine Funktion, da du
nicht f(g(x)) sondern willkürlich z.B. f(g|{2}(x)) verwendest.
Dann: Wo ist codom(exp) resp. dom(sin) ?

Post by IV

Post by IV
und hinschreiben für welche deiner Behauptungen die Beispiele gelten
sollen?

"sagt also, dass codom(exp) 'im allgemeinen Fall' nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.""

Ausserdem kannst du dir endlich einmal angewöhnen, unterschiedliche Namen
für unterschiedliche Objekte zu verwenden, dann ist nämlich "g ist hier
eine andere Funktion als oben." überflüssig.

Mathematik-Amateuren fällt es leichter, Bekanntes mit den bereits bekannten
Bezeichnern zu benennen und nicht ständig die Bezeichner zu wechseln.

Das stimmt nicht. Wenn du in einem Kontext für zwei verschiedene Dine denselben Bezeicher verwendest,
dann ist der Leser verwirrt. Ausserdem kann man nicht auf den Sermon antworten,
denn auf welches g bezieht sich eine Aussage wie z.B. "g ist falsch definiert",
wenn man dir sagen möchte, dass g nicht richtig definiert wäre?
Du findest wohl intuitive das richtige g, oder?

[IV]

Post by B***@outlook.de

Post by IV

Post by Hans CraueI
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {2} -> {exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x) = sin(exp(x))
g ist hier eine andere Funktion als oben.
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(3), exp(4)} -> {sin(exp(3)), sin(exp(4))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
F ist eine leere Funktion auf die leere Menge.
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {} -> {}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x)
g ist hier eine andere Funktion als oben.

Generell MUSS der Definitionsbereich von F mit dem von g übereinstimmen.

Danke für den konkreten Hinweis. Ich als Amateur wäre wirklich nie darauf
gekommen welchen Fehler Du meinst.
Die Funktionen g und f sind gegeben. f wird auf g angewendet. Das Resultat
sind die Einschränkungen von f und g und die Darstellung von F als
Komposition dieser Einschränkungen. Für die Komposition gilt das von Dir
Gesagte. f und g vor der Verknüpfung sind andere Funktionen als die
Gliedfunktionen. Deshalb dürfen sie andere Definitionsbereiche haben als die
Gliedfunktionen.

Post by B***@outlook.de

Post by IV

Post by Hans CraueI
Ausserdem kannst du dir endlich einmal angewöhnen, unterschiedliche
Namen für unterschiedliche Objekte zu verwenden, dann ist nämlich "g ist
hier eine andere Funktion als oben." überflüssig.

Mathematik-Amateuren fällt es leichter, Bekanntes mit den bereits
bekannten Bezeichnern zu benennen und nicht ständig die Bezeichner zu
wechseln.

Das stimmt nicht.

Du bist also auch ein Mathematik-Amateur.

Post by B***@outlook.de
Wenn du in einem Kontext für zwei verschiedene Dinge denselben Bezeicher
verwendest, dann ist der Leser verwirrt.

Die Kontexte waren verschieden, die Dinge analog.

Post by B***@outlook.de
Ausserdem kann man nicht auf den Sermon antworten, denn auf welches g
bezieht sich eine Aussage wie z.B. "g ist falsch definiert", wenn man dir
sagen möchte, dass g nicht richtig definiert wäre?

Ich weiß das doch (außer, was "auf den Sermon antworten" heißt).

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Die Funktionen g und f sind gegeben. f wird auf g angewendet. Das Resultat
sind die Einschränkungen von f und g und die Darstellung von F als
Komposition dieser Einschränkungen. Für die Komposition gilt das von Dir
Gesagte. f und g vor der Verknüpfung sind andere Funktionen als die
Gliedfunktionen. Deshalb dürfen sie andere Definitionsbereiche haben als die
Gliedfunktionen.

An diesem Geschwalle kann man die Notwendigkeit, für alle zu benennenden
Objekte eigene Bezeichner zu haben. Dann könnte man so etwas wie "g ist
aber von g' verschieden, weil ..." schreiben.

Post by IV

Post by B***@outlook.de
Wenn du in einem Kontext für zwei verschiedene Dinge denselben Bezeicher
verwendest, dann ist der Leser verwirrt.

Die Kontexte waren verschieden, die Dinge analog.

So'n Stuss. Jürgen hat innerhalb _eines_ Beispiels für zwei verschiedene
Funktionen den gleichen Bezeichener verwendet. Das Wesentliche in diesem
Beispiel war, dass diese Funktionen verschieden sind. Das ist der
Kontext.

[H0Iger SchuIz]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
Die Funktionen g und f sind gegeben. f wird auf g angewendet. Das Resultat
sind die Einschränkungen von f und g und die Darstellung von F als
Komposition dieser Einschränkungen. Für die Komposition gilt das von Dir
Gesagte. f und g vor der Verknüpfung sind andere Funktionen als die
Gliedfunktionen. Deshalb dürfen sie andere Definitionsbereiche haben als die
Gliedfunktionen.

An diesem Geschwalle kann man die Notwendigkeit, für alle zu benennenden
Objekte eigene Bezeichner zu haben.

.. deutlich erkennen.

Post by H0Iger SchuIz
Dann könnte man so etwas wie "g ist
aber von g' verschieden, weil ..." schreiben.

Post by IV

Post by B***@outlook.de
Wenn du in einem Kontext für zwei verschiedene Dinge denselben Bezeicher
verwendest, dann ist der Leser verwirrt.

Die Kontexte waren verschieden, die Dinge analog.

So'n Stuss. Jürgen hat innerhalb _eines_ Beispiels für zwei verschiedene
Funktionen den gleichen Bezeichener verwendet. Das Wesentliche in diesem
Beispiel war, dass diese Funktionen verschieden sind. Das ist der
Kontext.

[H0Iger SchuIz]

B. T. schrieb

Post by IV
Ausserdem kannst du dir endlich einmal angewöhnen, unterschiedliche Namen
für unterschiedliche Objekte zu verwenden, dann ist nämlich "g ist hier
eine andere Funktion als oben." überflüssig.

Mathematik-Amateuren fällt es leichter, Bekanntes mit den bereits bekannten
Bezeichnern zu benennen und nicht ständig die Bezeichner zu wechseln.

Dummes Zeug. Auch ein Amateur ist in der Lage zu verstehen, wofür man
Objekte unterscheiden können muss. Hier statt albernen Ausreden zu
suchen, ist wohl eher da Vorrecht der Stümper.

hs

[B***@outlook.de]

Post by IV

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf
die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Gib doch mal ein Beispiel an, in dem codom(exp) so beschaffen ist, dass
es nicht als Teilmenge von dom(sin) verwendet werden kann.
Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(sin o exp)?

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.

Hier sind schon einmal ein grobe Fehler: es fehlt einmal wieder die
Angabe des Definitionsbereichs und Wertebereichs, damit F als Funktion
definiert ist. Magischerweise tauchen sie plötzlich weiter unter auf.

Post by IV
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))

Nächste Fehler: wenn F als f(g(x)) definiert ist (Fehler: Widerspruch zur Voraussetzung oben), dann muss das x in g(x) aus dem DB von g sein und nicht
nur aus der Menge {2} (also ein Widerspruch in sich)

Post by IV
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung

Logikfehler: Aus obigen Fehlern folgt logisch ein falsche Folgerung.

Post by IV
Komposition dargestellt.

Ab hier sollten statt f, g und F verschiedene Bezeichner verwendetwerden:
Stilfehler.

Post by IV
g: {2} -> {exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x) = sin(exp(x))
g ist hier eine andere Funktion als oben.

Sinnloser und überflüssiger Zusatz.

Für Beipiel 2 gelten dieselben analogen Fehler, deshalb wiederhole ich sie nicht.

Post by IV
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(3), exp(4)} -> {sin(exp(3)), sin(exp(4))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))
F ist eine leere Funktion auf die leere Menge.
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung
Komposition dargestellt.
g: {} -> {}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {} -> {}, x |-> f(g(x)) = (f o g)(x)
g ist hier eine andere Funktion als oben.

Darum wiederhole ich meine Bitte, daß du die Fehler in deinen Beispielen
behebst und endlich die von anderen Diskussionspartner geforderten Beispiele
einmal posttest, um deinen Standpunkt zu verdeutlichen.
Falls das nicht geht, ist wohl deine ganze Theorie schon in den
Grundlagen auf Sand gebaut.

[IV]

Wenn man mir nur schreibt "Das ist falsch! Schreibe gefälligst mathematisch
korrekt!", dann hilft mir das nicht viel, denn ich sehe die Fehler einfach
nicht.

Tut mir leid, ich kann Eure Kritikpunkte zwar nachvollziehen, kann sie aber
immer noch nicht verstehen.

Post by IV
F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.

Hier sind schon einmal einige grobe Fehler: es fehlt einmal wieder die
Angabe des Definitionsbereichs und Wertebereichs, damit F als Funktion
definiert ist.

Wenn ich definiere F soll eine Funktion sein, dann ist es doch eine
Funktion, auch wenn kein Definitions- und Wertebereich angegeben ist, oder?

Post by IV
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))

Nächste Fehler: wenn F als f(g(x)) definiert ist (Fehler: Widerspruch zur
Voraussetzung oben), dann muss das x in g(x) aus dem DB von g sein und
nicht nur aus der Menge {2} (also ein Widerspruch in sich)

Marti, Gröger: "Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und
Wirtschaftswissenschaftler" definiert:
"Definition 17.1 (Zusammensetzung von Funktionen). Es seien f, g zwei
Funktionen, so dass mindestens ein Element des Wertebereiches von f im
Definitionsbereich von g liegt: W_f \cap D_g \neq 0. Dann heißt die durch
(g o f)(x) := g(f(x)), D_{gof} = {x: \in D_f, f(x) \in D_g}
erklärte Funktion g o f Zusammensetzung von g mit f.
g(f(x)) ist hier nicht als Komposition definiert(!), sondern als
Zusammensetzung. Und bei mir dürfen f und g sogar beliebige Funktionen sein.
Deshalb darf ich F als aus beliebigen Funktionen f und g zusammengesetzte
Funktion darstellen, oder?

Post by IV
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung

Logikfehler: Aus obigen Fehlern folgt logisch ein falsche Folgerung.

Oh, Tschuldigung: \subsetneq ist ja das falsche LATEX-Symbol. Es soll
\not\subset heißeb.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Marti, Gröger: "Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und

Kann er ja machen, wenn ihm das Spaß macht.

Post by IV
"Definition 17.1 (Zusammensetzung von Funktionen). Es seien f, g zwei
Funktionen, so dass mindestens ein Element des Wertebereiches von f im
Definitionsbereich von g liegt: W_f \cap D_g \neq 0. Dann heißt die durch
(g o f)(x) := g(f(x)), D_{gof} = {x: \in D_f, f(x) \in D_g}
erklärte Funktion g o f Zusammensetzung von g mit f.
g(f(x)) ist hier nicht als Komposition definiert(!),

Dann sollte man vielleicht auch nicht die gleiche Schreibweise wie bei
der Komposition verwenden (Ja, man kann diese Form von Zusammensetzung
als Verallgemeinerung der Komposition betrachten. Das wäre durchaus eine
Rechtfertigung für die gleiche Schreibweise. Aber ob das denn nun
übersichtlich wird?)

Post by IV
sondern als
Zusammensetzung. Und bei mir dürfen f und g sogar beliebige Funktionen sein.

Die solcherartige Definition gibt es in etwa wann?

Post by IV
Deshalb darf ich F als aus beliebigen Funktionen f und g zusammengesetzte
Funktion darstellen, oder?

Könnt ihr machen. Zuvor aber müsste mal klar sein, was eine
"zusammengesetze Funktion" sein soll. Hat schon jemand nach einer
Definition gefragt? Die von Herr Marti ist ja wohl nicht allgemein
genug.

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
"Definition 17.1 (Zusammensetzung von Funktionen). Es seien f, g zwei
Funktionen, so dass mindestens ein Element des Wertebereiches von f im
Definitionsbereich von g liegt: W_f \cap D_g \neq 0. Dann heißt die durch
(g o f)(x) := g(f(x)), D_{gof} = {x: \in D_f, f(x) \in D_g}
erklärte Funktion g o f Zusammensetzung von g mit f.
g(f(x)) ist hier nicht als Komposition definiert(!), sondern als
Zusammensetzung. Und bei mir dürfen f und g sogar beliebige Funktionen sein.

Die solcherartige Definition gibt es in etwa wann?

Post by IV
Deshalb darf ich F als aus beliebigen Funktionen f und g zusammengesetzte
Funktion darstellen, oder?

Könnt ihr machen. Zuvor aber müsste mal klar sein, was eine
"zusammengesetze Funktion" sein soll. Hat schon jemand nach einer
Definition gefragt? Die von Herr Marti ist ja wohl nicht allgemein genug.

Definition:
Es seien f und g zwei b e l i e b i g e Funktionen. Dann heißt die durch
h(x) := f(g(x)), D_h={x: x \in D_g, g(x) \in D_f} erklärte Funktion h
Zusammensetzung von f mit g.
Und dann mein Satz:
Seien f und g zwei beliebige Funktionen, und F eine Funktion mit F: z |->
f(g(z)). Dann ...

[Carlo XYZ]

Es seien f und g zwei  b e l i e b i g e  Funktionen. Dann heißt die
durch h(x) := f(g(x)), D_h={x: x \in D_g, g(x) \in D_f} erklärte
Funktion h Zusammensetzung von f mit g.

Das ist keine gute Definition. Eine solche sollte so beginnen:

"Es seien f:A->B und g:C->D zwei beliebige Funktionen."

... und weitergehen mit:

"Dann heißt die Funktion h:E->F die Zusammensetzung von
f mit g, wobei (1), (2) und (3)."

Dabei erklärt (1), wie sich E aus f,g,A,B,C,D ergibt,
(2), wie sich F aus f,g,A,B,C,D ergibt, und (3) lautet
vermutlich: "..und f. alle x aus E ist h(x)=g(f(x))".
Wenn du dazu D_f und W_f verwendest, musst du zuvor
noch klären, wie sich D_f und W_f aus f,A,B ergeben,
dito für g. Und es muss klar sein, dass der Term g(f(x))
für alle x aus E wohldefiniert ist. Und vor allem muss
gleichzeitig (vorzugsweise vorher) bewiesen werden,
dass dieses so definierte Objekt tatsächlich eine
Funktion von E nach F ist. Als Nachbemerkung sollte
das Verhältnis zur Relation \circ (die ja bereits
definiert ist) erklärt und der Name "Zusammensetzung"
motiviert bzw. modifiziert werden.
Ohne gescheite Definition kein Satz.

[IV]

Post by IV

Post by IV

Marti, K.; Gröger, D.: Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur-

"Definition 17.1 (Zusammensetzung von Funktionen). Es seien f, g zwei
Funktionen, so dass mindestens ein Element des Wertebereiches von f im
Definitionsbereich von g liegt: W_f \cap D_g \neq 0. Dann heißt die
durch (g o f)(x) := g(f(x)), D_{gof} = {x: \in D_f, f(x) \in D_g}
erklärte Funktion g o f Zusammensetzung von g mit f."

Es seien f und g zwei b e l i e b i g e Funktionen. Dann heißt die
durch h(x) := f(g(x)), D_h={x: x \in D_g, g(x) \in D_f} erklärte Funktion
h Zusammensetzung von f mit g.

Das ist keine gute Definition. Eine solche sollte so beginnen: ...

(Wenn ich wie hier von Dir konkrete Handlungsanleitungen bekomme - so wie es
in einer mündlichen Diskussion üblich ist, und keine Gegenfragen die ich als
Laie sowieso nicht beantworten kann, dann kann ich auch entsprechende
Korrekturen vornehmen.)
Definition:
Es seien f: A -> B und g: C -> D zwei beliebige Funktionen. Dann heißt die
Funktion h: E = {z | z \in dom(g), g(z) \in dom(f)} -> f(g(E)), z \mapsto
f(g(z)) die Zusammensetzung von f mit g.
Ist jetzt alles korrekt und wohldefiniert?
Wie kann man die Definition noch verbessern?
Die DB und WB A, B, C und D werden überhaupt nicht benötigt - kann man die
denn nicht weglassen?
Mein Begriff "Zusammensetzung zweier Funktionen" unterscheidet sich von dem
aus Marti/Gröger oben lediglich dadurch, daß bei mir beliebige Funktionen f
und g zugelassen sind und damit als Zusammensetzung auch die leere Funktion
auf die leere Menge. Hat keiner von Euch den Ehrgeiz, dafür eine saubere
schöne Definition zu formulieren?

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Wenn ich wie hier von Dir konkrete Handlungsanleitungen bekomme

..., dann machen die anderen die Arbeit und lernst nie etwas dazu. Aber
stimmt ja, außer dass due ien Theorie gewöhnlicher Gleichung vorlegen
willst, möchest du dich ja gar nicht mit Mathematik beschäftigen. Das
machen ja Deine Lakeien. Patsch.

Post by IV
Funktion h: E = {z | z \in dom(g), g(z) \in dom(f)} -> f(g(E)), z \mapsto

Nee, so geht das nicht. Wenn du den Bezeichner E verwenden möchtest,
musst du getrennt hinschrieben, was E ist. So etwas wie "Nebensätze",
dass man so dazwischen schiebt, was E ist, gibt es in der mathematischen
Schreibweise nicht.

Üben, üben, üben.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
Wenn ich wie hier von Dir konkrete Handlungsanleitungen bekomme

..., dann machen die anderen die Arbeit und lernst nie etwas dazu.

Eigentlich muß ich nichts dazulernen - ich will nicht Mathematiker werden.

Post by H0Iger SchuIz
Aber stimmt ja, außer dass du eine Theorie gewöhnlicher Gleichung vorlegen
willst, möchtest du dich ja gar nicht mit Mathematik beschäftigen. Das
machen ja Deine Lakeien. Patsch.

(Ich wußte natürlich, daß dieser Einwand kommt.)
Ist es denn nicht eine gute Sache, uneigennützig an einem Projekt für die
Allgemeinheit zu arbeiten - jeder mit dem was er am besten kann?
Und Ihr habt doch hier vielleicht auch einiges Interessantes erfahren: z. B.
die Begriffe elementare Funktionen (vielleicht auch Liouvillesche
Funktionen), zusammengesetzte Funktion, partielle Umkehrfunktion,
Co-Einschränkung, Bi-Einschränkung, kanonische Surjektion.
Ich denke, es lohnt sich, an dem Open-Science-Projekt mit- und
weiterzuarbeiten: mit Hilfe meines Struktursatzes für partielle
Umkehrfunktionen, den Ihr noch für banal, trivial, nutzlos und sinnlos
haltet, der aber eine Erweiterung von Ritts Satz ist, möchte ich einen Satz
formulieren, der besagt, mit welcherart Umformungen (Funktionen) eine
'gewöhnliche Gleichung' aufgelöst werden kann bzw. mit welcherart
Umformungen nicht.
Mit der von mir darüber hinaus angedachten Verallgemeinerung von Ritts Satz
würde man außerdem beweisen können, daß entsprechende Lösungsfunktionen
existieren oder nicht existieren.

[IV]

Post by IV
Funktion h: E = {z | z \in dom(g), g(z) \in dom(f)} -> f(g(E)), z \mapsto

Nee, so geht das nicht. Wenn du den Bezeichner E verwenden möchtest, musst
du getrennt hinschreiben, was E ist. So etwas wie "Nebensätze", dass man
so dazwischen schiebt, was E ist, gibt es in der mathematischen
Schreibweise nicht.

Na, das ist doch mal ein konkreter Hinweis. Mit solchen Antworten kann ich
dann auch was anfangen.
Ich dachte mir das schon. (Du hattest ja schon mal geschrieben, daß Du kein
Freund von Bedingungen in dem Definitionsteil von DB und WB bist. Andere
machen solches aber.)
Ich traue mich aber nicht mehr, Nebensätze zu verwenden, weil jemand hier
geschrieben hat, man darf f und g nicht getrennt von x |-> f(g(x))
definieren, also man darf das eine nicht vor dem anderen definieren, und das
Andere nicht vor dem Einen - keine Ahnung, wie ich dann überhaupt etwas
definieren kann.
Und keiner von Euch kriegt die Definition ordentlich hin? Wenn Ihr das mich
machen laßt, dann sitzen wir noch Tage nur an dieser simplen Definition. Ihr
braucht aus mir keinen Mathematiker zu machen.
Also, mein nächster Versuch:
Es seien f: A -> B und g: C -> D zwei beliebige Funktionen. Dann heißt die
Funktion h: E -> F, z \mapsto f(g(z)) die Zusammensetzung von f mit g, wobei
E = {z | z \in dom(g), g(z) \in dom(f)}.
oder:
Es seien f: A -> B und g: C -> D zwei beliebige Funktionen, und E = {z | z
\in dom(g), g(z) \in dom(f)}. Dann heißt die Funktion h: E -> F, z \mapsto
f(g(z)) die Zusammensetzung von f mit g.
Sind die Definitionen korrekt? Wie kann man sie noch verbessern?

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Es seien f und g zwei b e l i e b i g e Funktionen. Dann heißt die durch
h(x) := f(g(x)), D_h={x: x \in D_g, g(x) \in D_f} erklärte Funktion h
Zusammensetzung von f mit g.

Unklar. Welchen Wertebereich bekommt denn h? Was ist "x" in "h(x) :=
f(g(x))"?

Post by IV
Seien f und g zwei beliebige Funktionen, und F eine Funktion mit F: z |->
f(g(z)). Dann ...

Was dann? Ein _Satz_ ist es, wenn es bewiesen wurde. Bis dahin darf man
es Vermutung nennen.

Warum hab eich das Gefühl, dass ich derartige Fehler schon benannt habe?

hs

[B***@outlook.de]

Post by IV
Wenn man mir nur schreibt "Das ist falsch! Schreibe gefälligst mathematisch
korrekt!", dann hilft mir das nicht viel, denn ich sehe die Fehler einfach
nicht.
Tut mir leid, ich kann Eure Kritikpunkte zwar nachvollziehen, kann sie aber
immer noch nicht verstehen.

Post by IV
F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.

Hier sind schon einmal einige grobe Fehler: es fehlt einmal wieder die
Angabe des Definitionsbereichs und Wertebereichs, damit F als Funktion
definiert ist.

Wenn ich definiere F soll eine Funktion sein,

KORREKTUR DEINES TEXTES:
"Wenn ich schreibe, F soll eine Funktion sein"
dann hast du nur deine Absicht Kund getan, den Buchstaben F im weiteren
Verlauf deines Textes als Bezeichner für eine Funktion zu verwenden.
Definiert hast du noch nichts.

Post by IV
dann ist es doch eine
Funktion, auch wenn kein Definitions- und Wertebereich angegeben ist, oder?

Dein zweifelndes "oder" ist hier angebracht. Noch einmal von Vorn:
Eine Funktion ist durch 3 (in Worten DREI, engl. THREE, franz. TROIS)
Teile erst definiert, die man ALLE angeben muss: DB, WB und Funktionsvorschrift.


Wenn du einen 3-dimensionalen Vektor definierst, dann gibst du auch alle drei Komponenten an, z.B. (x, y, z) oder (x_1, x_2, x_3), oder schreibst den
Buchstaben x fett, oder mit einem Pfeil darüber, was dann eine Abkürzung
für eine der ersten beiden Schreibweisen ist.

Post by IV

Post by IV
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))

Nächste Fehler: wenn F als f(g(x)) definiert ist (Fehler: Widerspruch zur
Voraussetzung oben), dann muss das x in g(x) aus dem DB von g sein und
nicht nur aus der Menge {2} (also ein Widerspruch in sich)

Das folgende Zitat hat rein gar nichts mit der Verwendung eines falschen Definitionsbereichs für F zu tun: Du MUSST statt {2} doch {1,2}
verwenden, da du g und nicht die auf {2} eingeschränkte "Teilfunktion"
in der Abbildungsvorschrift von F verwendest. Hast du das jetzt verstanden?

Post by IV
Marti, Gröger: "Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und
"Definition 17.1 (Zusammensetzung von Funktionen). Es seien f, g zwei
Funktionen, so dass mindestens ein Element des Wertebereiches von f im
Definitionsbereich von g liegt: W_f \cap D_g \neq 0. Dann heißt die durch
(g o f)(x) := g(f(x)), D_{gof} = {x: \in D_f, f(x) \in D_g}
erklärte Funktion g o f Zusammensetzung von g mit f.

Und hier würde schon ein Leser deiner Zielgruppe verstandesmäßig aussteigen,
da plötzlich f und g ihre Rollen vertauscht haben. Kannst du dein Beispiel etwa nicht an das Zitat anpassen?

Post by IV
g(f(x)) ist hier nicht als Komposition definiert(!),

Aber sicher wurde g(f(x)) nicht definiert, da f und g als
Voraussetzungen gegeben sind und die Funktion (g o f) definieren.
Die Komposition wird durch g(f(x)) erst definiert:
f(x) und g(f(x)) sind gegeben, die Funktion (g o f) wird erst dadurch erzeugt, daß ihre Abbildungsvorschrift g(f(x)) ist. Ist das jetzt einsehbar?

Post by IV
sondern als
Zusammensetzung. Und bei mir dürfen f und g sogar beliebige Funktionen sein.
Deshalb darf ich F als aus beliebigen Funktionen f und g zusammengesetzte
Funktion darstellen, oder?

Wenn du das erst einmal richtig aufschreibst oder an einem richtigen Beispiel
durchexerzierst, könnte ich geneigt sein, dir eventuell teilweise zuzustimmen.

Post by IV

Post by IV
Da WB(g) \subsetneq DB(f), ist F nicht mit Hilfe der Verknüpfung

Logikfehler: Aus obigen Fehlern folgt logisch ein falsche Folgerung.

Oh, Tschuldigung: \subsetneq ist ja das falsche LATEX-Symbol. Es soll
\not\subset heißeb.

[IV]

Post by B***@outlook.de

Post by IV

Post by IV
F mit x |-> sin(exp(x)) soll nach Voraussetzung eine Funktion sein.

Hier sind schon einmal einige grobe Fehler: es fehlt einmal wieder die
Angabe des Definitionsbereichs und Wertebereichs, damit F als Funktion
definiert ist.

Eine Funktion ist durch 3 (in Worten DREI, engl. THREE, franz. TROIS)
Teile erst definiert, die man ALLE angeben muss: DB, WB und
Funktionsvorschrift.

"sei F eine Funktion mit F: x |-> sin(exp(x))" definiert den
Funktionsbezeichner und den Funktionsterm der Funktion F. Du hast recht,
wenn Du sagst, die Funktion F ist damit noch nicht definiert
(wohldefiniert?).

Post by B***@outlook.de

Post by IV
g: {1, 2} -> {exp(1), exp(2)}, x |-> exp(x)
f: {exp(2), exp(3)} -> {sin(exp(2)), sin(exp(3))}, x |-> sin(x)
F: {2} -> {sin(exp(2)}, x |-> f(g(x)) = sin(exp(x))

Nächste Fehler: wenn F als f(g(x)) definiert ist (Fehler: Widerspruch zur
Voraussetzung oben), dann muss das x in g(x) aus dem DB von g sein und
nicht nur aus der Menge {2} (also ein Widerspruch in sich)

Verwendung eines falschen Definitionsbereichs für F ...: Du MUSST statt
{2} doch {1,2} verwenden, da du g und nicht die auf {2} eingeschränkte
"Teilfunktion" in der Abbildungsvorschrift von F verwendest. Hast du das
jetzt verstanden?

Ich habe das natürlich verstanden, aber:
Für die Funktion F mit F: x |-> sin(exp(x)) ist kein Definitionsbereich
explizit vorgegeben, es wird nur vorausgesetzt, daß F eine Funktion ist.
Eine Funktion ergibt sich aber nur für DB(F) = {2}. x |-> f(g(x)) ist
lediglich die Zuiordnungsvorschrift. Angewendet auf den DB(F) ergibt sich F.
Wie definiert Ihr denn x |-> f(g(x))? Es ist im allgemeinen ja nicht die
Komposition. Bitte berücksichtigt, daß x |-> (f o g)(x) die
Zuordnungsvorschrift der Komposition ist, x |-> f(g(x)) im allgemeinen aber
nicht.

[IV]

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die Funktion
sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf die Funktion
exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur für
den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen
Fall nicht immer erfüllt ist.

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

Vielleicht das hier?
exp: R -> R, z |-> exp(z)
sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
Oder das hier?
exp: DB(exp) -> C\R, z |-> exp(z)
sin: R -> C, z |-> sin(z)

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die Funktion
sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf die Funktion
exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn diese ist nur für
den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was hier im allgemeinen
Fall nicht immer erfüllt ist.

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer Teilmenge
von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

Vielleicht das hier?
exp: R -> R, z |-> exp(z)
sin: C\R -> C, z |-> sin(z)

Und was wäre nun in diesem Beispiel die "Zusammensetzung"? Hier werden
wieder nur Brocken hingeworfen und nichts zu Ende gedacht. Was lernen
wir denn nun aus diesem Beispiel?

hs

[Carlo XYZ]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV

Post by Hans CraueI

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin
auf die Funktion exp".  Und damit meint man nicht die Komposition,
denn diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin)
definiert, was hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer
Teilmenge von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

Vielleicht das hier?
exp: R -> R, z |-> exp(z)
sin: C\R -> C, z |-> sin(z)

Und was wäre nun in diesem Beispiel die "Zusammensetzung"? Hier werden
wieder nur Brocken hingeworfen und nichts zu Ende gedacht. Was lernen
wir denn nun aus diesem Beispiel?

g: R -> R, z |-> exp(z)
f: sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
F: DB(F) -> WB(F), z |-> f(g(z))
F: {} -> {}, z |-> f(g(z))
Was lernen wir denn nun aus diesem Beispiel?

Dass du den Begriff "Komposition" weiterhin nicht so allgemein
verwendest, wie er designiert ist.

Auch in diesem Fall ist die Komposition h = g o f definiert,
nämlich als Relation {} \subseteq (R\times C), was sogar
eine partielle Funktion von R nach C ist.

Dein F ist die Einschränkung von h auf den Urbildbereich von h,
in Formeln meist F = h|_\emptyset geschrieben.

Mit Vorsicht ist hauptsächlich die Terminologie zu behandeln:
Urbildbereich von h ist {}, aber Definitionsbereich von h ist R.
(Nicht ganz einheitlich in der Literatur, deswegen in jedem
Einzelfall eindeutig anzugeben und konsistent zu verwenden).

An deiner Stelle würde ich wahrscheinlich auf den Begriff der
partiellen Funktion setzen, dem zur Funktion nur noch die
Linkstotalität fehlt.

[Carlo XYZ]

....

Post by Carlo XYZ

g: R -> R, z |-> exp(z)
f: sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
F: DB(F) -> WB(F), z |-> f(g(z))
F: {} -> {}, z |-> f(g(z))

....

Post by Carlo XYZ
Auch in diesem Fall ist die Komposition h = g o f definiert,
nämlich als Relation {} \subseteq (R\times C), was sogar
eine partielle Funktion von R nach C ist.
Dein F ist die Einschränkung von h auf den Urbildbereich von h,
in Formeln meist F = h|_\emptyset geschrieben.

Bzw. die Einschränkung F = h\cap(UB(h)\times BB(h)),
die man auch F = h|_{UB(h)\times BB(h)} schreibt
(UB=Urbildbereich, BB=Bildbereich).
Je nachdem, was du willst; beide sind Funktionen.

BTW ist deine obige "Definition" zirkulär: du darfst nicht
DB(F) und WB(F) schon verwenden, um F erst zu definieren.

Den Begriff "F ist Zusammensetzung (oder Hintereinanderausführung)
von g mit f" halte ich in beiden Fällen für irreleitend. Du führst
damit eine missverständliche Inkonsistenz ein, abgesehen von einer
unschönen Mehrdeutigkeit (denn beide Arten F sind ähnlich sinnvoll).

Wenn es wirklich sinnvoll ist, zu g und f ein solches F-Objekt
explizit zu definieren, würde ich ein spezielles Zeichen vorziehen,
z.B. \circ_e mit der Bedeutung "eingeschränkte Komposition" und
der Definition

g\circ_e f = (g\circ f)\cap(UB(g\circ f)\times BB(g\circ f))
\subseteq UB(g\circ f)\times BB(g\circ f)

oder

g\circ_e f = (g\circ f)\cap(UB(g\circ f)\times WB(f))
\subseteq UB(g\circ f)\times WB(f)

Wenn ich mich nicht vertan habe, gilt in beiden Fällen

g,f Funktionen => (g\circ_e f) Funktion.

[IV]

Post by H0Iger SchuIz
Und was wäre nun in diesem Beispiel die "Zusammensetzung"? Hier werden
wieder nur Brocken hingeworfen und nichts zu Ende gedacht. Was lernen
wir denn nun aus diesem Beispiel?

g: R -> R, z |-> exp(z)
f: sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
F: DB(F) -> WB(F), z |-> f(g(z))
F: {} -> {}, z |-> f(g(z))
Was lernen wir denn nun aus diesem Beispiel?

Dass du den Begriff "Komposition" weiterhin nicht so allgemein verwendest,
wie er designiert ist.

Ich verwende den Begriff "Komposition" doch überhaupt nicht.

An deiner Stelle würde ich wahrscheinlich auf den Begriff der partiellen
Funktion setzen

Damit kann ich dem Anwender nicht kommen. Er hat eine Funktion gegeben,
gegebenenfalls eben die leere Funktion auf die leere Menge.

[Carlo XYZ]

Post by IV
Ich verwende den Begriff "Komposition" doch überhaupt nicht.

Wer sonst schrieb ".. damit meint man nicht die Komposition, denn .."?

Post by IV

Post by Carlo XYZ
An deiner Stelle würde ich wahrscheinlich auf den Begriff der
partiellen Funktion setzen

Damit kann ich dem Anwender nicht kommen.

Freilich kannst du.
Bisher kam in der Hinsicht eh nur heiße Luft von dir.

[H0Iger SchuIz]

g: R -> R, z |-> exp(z)
f: sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
F: DB(F) -> WB(F), z |-> f(g(z))
F: {} -> {}, z |-> f(g(z))
Was lernen wir denn nun aus diesem Beispiel?

Ich mal nix. Ich weiß aber noch nicht mal, ob sich vier unerläutert
untereinandergeschriebene Zeilen schon zum Beispiel qualifizieren.

Wenn man nicht, was man mit einem Beispiel zeigen möchte, lässt man
vielleicht besser.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by Hans CraueI
Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer
Teilmenge von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

Und was wäre nun in diesem Beispiel die "Zusammensetzung"? Hier werden
wieder nur Brocken hingeworfen und nichts zu Ende gedacht. Was lernen
wir denn nun aus diesem Beispiel?

g: R -> R, z |-> exp(z)
f: sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
F: DB(F) -> WB(F), z |-> f(g(z))
F: {} -> {}, z |-> f(g(z))
Was lernen wir denn nun aus diesem Beispiel?

Wenn man nicht weiß, was man mit einem Beispiel zeigen möchte, lässt man's
vielleicht besser.

Hans Crauel wollte, daß ich ein Beispiel dafür angebe, daß codom(exp) im
allgemeinen Fall nicht immer Teilmenge von dom(sin) sein muß. Keine Ahnung,
wozu er ein konkretes Beispiel braucht.

[B***@outlook.de]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV

Post by Hans CraueI

"sin(exp(x)) ist zusammengesetzt aus sin und exp" oder als "Die
Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin auf
die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Ihr sagt also, dass codom(exp) "im allgemeinen Fall" nicht immer
Teilmenge von dom(sin) sein muesse.
Es ist genau diese Behauptung, auf die sich die Nachfrage richtet.
Koenntet ihr dafuer nun bitte ein Beispiel angeben?

Vielleicht das hier?
exp: R -> R, z |-> exp(z)
sin: C\R -> C, z |-> sin(z)

Und was wäre nun in diesem Beispiel die "Zusammensetzung"? Hier werden
wieder nur Brocken hingeworfen und nichts zu Ende gedacht. Was lernen wir
denn nun aus diesem Beispiel?

g: R -> R, z |-> exp(z)
f: sin: C\R -> C, z |-> sin(z)
F: DB(F) -> WB(F), z |-> f(g(z))
F: {} -> {}, z |-> f(g(z))
Was lernen wir denn nun aus diesem Beispiel?

Also ich habe gelernt, daß du immer noch nicht die Bedeutung bei der
Benutzung der mathematischen Schreibweise verstanden hast:

Warum sollte der DB(F) die leere Menge {} sein, da es doch offensichtlich
die Menge R ist (da g ja diesen DB hat)?
Warum wird hier zweimal der Bezeichner F benutzt? Ist das zweite F ein anderes
als das erste F? Und warum beharrst du dann auf so einer verwirrenden
Terminologie? Ist das zweite F eventuell eine Einschränkung der Funktion
G: R -> {}, z |-> f(g(z)) ?

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
geboren am, wohnhaft in, vom Institut für Mathematik

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Was soll denn codom(exp) sein?

Antwort bitte.

exp ist eine Funktion, ihr Definitionsbereich und ihr Zielbereich
(codom(exp)) ist nicht angegeben.

Zu einer Funktion gehört aber nunmal Definitions- und Wertebereich.

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Natuerlich kann man exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten, so dass sin dort nicht definiert ist.
Doch wozu sollte man das tun?

Um Mathematik zu betreiben?

Davon verstehst du eigenem Bekunden zufolge nichts, darum lass es lieber,
solange die erforderlichen Grundlagen nicht vorhanden sind.

Habe ich gesagt, daß ich exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten will oder daß ich Mathematik betreiben will?

Vielleicht sagst du uns, was du willst. Falls du keine Mathematik
betreiben willst, bist du hier verkehrt.

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als
Zielmenge hat?

Wozu sollte man das brauchen?

Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als Zielmenge
hat?

Aha. Um welchen Fall geht es denn hier? Welche Defitions- und
Wertebereiche sollen denn in diesem Beispeil betrachtet werden?

Post by IV
Um Mathematik zu betreiben?

Das ist recht unspezifisch. Worum soll es konkret gehen?

Post by IV
Um Aussagen für den allgemeinen Fall zu treffen?

Was soll das sein? Wie sieht dieser allgemeine Fall aus? Welche Aussagen
möchtest du treffen?

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Weil exp eben keine Funktion ist, sondern eine Familie von Funktionen, da
DB und WB nicht (in Deutsch:) spezifiziert sind?

Auf welchem Definitionsbereich gibt es Probleme mit der Definition von
(exp o sin)?

Gehört das noch zum Thema?

Nein, die Meta-Diskussionen, mit denen der Nicht-Mathematiker seine
Mathematik-Verweigerung begründen möchte, gehören sichr nicht zum Thema.
Die Versuche der Mathematiker in dieser Runde, wieder zur Mathematik zu
kommen, torpediert er auch erfolgreich. Um ehrlich zu sein, ich weiß gar
nicht, was "das Thema" überhaupt sein soll.

Post by IV
(Oder war das nur ein rasch aus der Luft
gegriffenes Beispiel für eine zusammengesetzte Funktion?)
(Definiere mathematisch "Probleme".)

Blablabla.

Danke für's Mitspielen, Kleiner.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
exp ist eine Funktion, ihr Definitionsbereich und ihr Zielbereich
(codom(exp)) ist nicht angegeben.

Zu einer Funktion gehört aber nunmal Definitions- und Wertebereich.

Ja, das wissen wir.
In meinem Thread in sci.math "Proof wanted for restriction of concatenated
functions to a composition" versteht man das nicht.
Was willst Du damit sagen?

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by IV

Post by Hans Crauel
Natuerlich kann man exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten, so dass sin dort nicht definiert ist.
Doch wozu sollte man das tun?

Um Mathematik zu betreiben?

Davon verstehst du eigenem Bekunden zufolge nichts, darum lass es
lieber, solange die erforderlichen Grundlagen nicht vorhanden sind.

Habe ich gesagt, daß ich exp als Funktion mit Bildbereich (C vereinigt
Irgendwas) betrachten will oder daß ich Mathematik betreiben will?

Vielleicht sagst du uns, was du willst. Falls du keine Mathematik
betreiben willst, bist du hier verkehrt.

Ich möchte eigentlich keine Mathematik betreiben, ich möchte hier nur
Antworten auf meine Fragen.

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by IV
Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als
Zielmenge hat?

Wozu sollte man das brauchen?

Weil man nicht "ganz" \mathbb{R} oder nicht "ganz" \mathbb{C} als
Zielmenge hat?

Aha. Um welchen Fall geht es denn hier? Welche Defitions- und
Wertebereiche sollen denn in diesem Beispiel betrachtet werden?

exp, glaube ich, kann auf komplexelementigen Definitionsbereichen und mit
komplexelementigen Wertebereichen definiert werden, die Identität auf allen
Definitionsbereichen, aber Letzteres weiß ich nicht genau.

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
Um Mathematik zu betreiben?

Das ist recht unspezifisch. Worum soll es konkret gehen?

Post by IV
Um Aussagen für den allgemeinen Fall zu treffen?

Was soll das sein? Wie sieht dieser allgemeine Fall aus? Welche Aussagen
möchtest du treffen?

"Seien f_1,...,f_n beliebige Funktionen, und sei F eine Funktion mit F(z) =
f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...)). Dann ist F = f'_n o f'_{n-1} o ... f'_2 o
f'_1, worin für alle i mit 1 \leq i \leq n f'_i eine surjektive
Einschränkung der Funktion f_i ist."

[Hans Crauel]

Jürgen "IV" Will schrieb

Post by IV
exp, glaube ich, kann auf komplexelementigen Definitionsbereichen und
mit komplexelementigen Wertebereichen definiert werden,

Waere es da nicht mal an der Zeit, dazu etwas nachzulesen? Schon
Wikipedia ist da gar nicht so schlecht (da erfaehrt man auch,
dass die Exponentialfunktion auf beliebigen Banach-Algebren
definiert werden kann, darunter auch quadratische Matrizen).

Post by IV
die Identität auf allen Definitionsbereichen, aber Letzteres
weiß ich nicht genau.

Wie waere es mal mit kurzem Nachdenken? Ist X irgendeine Menge,
so ist die Zuordnung f : X -> X, f(x) = x, stets definiert
(als Relation: die Diagonale).

Post by IV
"Seien f_1,...,f_n beliebige Funktionen, und sei F eine Funktion mit F(z) =
f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...)). Dann ist F = f'_n o f'_{n-1} o ... f'_2 o
f'_1, worin für alle i mit 1 \leq i \leq n f'_i eine surjektive
Einschränkung der Funktion f_i ist."

Die Aussage ist falsch, wie F : R -> R, F(x) = exp(x^3), zeigt.

Sie ist immer richtig, wenn F : X -> Y surjektiv ist, naemlich mit
n = 1 und f_1 = F (oder auch mit n = 2 und f_1 = F, f_2 = id_Y bzw.
f_1 = id_X, f_2 = F).

Sie ist damit auch fuer F : X -> Y, X und Y beliebige Mengen,
richtig, wenn man auf das Bild von F einschraenkt, also die
Aussage fuer F : X -> F(X) formuliert, denn dies ist surjektiv.

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch. Formuliert man sie
so um, dass man eine richtige Aussage erhaelt (naemlich durch
Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich), so ist sie banal.

Hans

[IV]

Post by IV
exp, glaube ich, kann auf komplexelementigen Definitionsbereichen und mit
komplexelementigen Wertebereichen definiert werden

Waere es da nicht mal an der Zeit, dazu etwas nachzulesen? Schon Wikipedia
ist da gar nicht so schlecht (da erfaehrt man auch, dass die
Exponentialfunktion auf beliebigen Banach-Algebren definiert werden kann,
darunter auch quadratische Matrizen).

Nö, da sin(exp(x)) nur als Beispiel für eine zusammengsetzte Funktion dienen
sollte und da ich in meinen zu kreierenden allgemeinen mathematischen Sätzen
grundsätzlich keine Aussagen zu konkreten DB oder WB machen will wenn das
nicht erforderlich ist.

Post by IV
die Identität auf allen Definitionsbereichen, aber Letzteres weiß ich
nicht genau.

Wie waere es mal mit kurzem Nachdenken? Ist X irgendeine Menge, so ist die
Zuordnung f : X -> X, f(x) = x, stets definiert (als Relation: die
Diagonale).

Das Nachdenken darüber, ob die Identität auf allen Definitionsbereichen
definiert ist oder nicht mache ich wenn ich eine Antwort darauf brauche.
Vielleicht gibt es ja irgendwelche "projektive" oder kategorientheoretische
Definitionsbereiche.

Post by IV
"Seien f_1,...,f_n beliebige Funktionen, und sei F eine Funktion mit F(z)
= f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...)). Dann ist F = f'_n o f'_{n-1} o ...
f'_2 o f'_1, worin für alle i mit 1 \leq i \leq n f'_i eine surjektive
Einschränkung der Funktion f_i ist."

Die Aussage ist falsch, wie F : R -> R, F(x) = exp(x^3), zeigt.

Das zeigt mir gar nichts. Kannst Du bitte erklären was Du meinst? (Welches
z. B. sind bei Dir die DB und WB der Gliedfunktionen?)

Sie ist immer richtig, wenn F : X -> Y surjektiv ist, naemlich mit n = 1
und f_1 = F (oder auch mit n = 2 und f_1 = F, f_2 = id_Y bzw. f_1 = id_X,
f_2 = F).

Das "naemlich" verstehe ich noch nicht. Könntest Du bitte genauer sagen
welchen der beiden Nebensätze Du meinst?

Sie ist damit auch fuer F : X -> Y, X und Y beliebige Mengen, richtig,
wenn man auf das Bild von F einschraenkt, also die Aussage fuer F : X ->
F(X) formuliert, denn dies ist surjektiv.

Alles In Deutsch: Na, und wenn man die äußerste Gliedfunktion, f_n,
surjektiv einschränkt, also ihren WB auf ihren BB einschränkt, hat man F
doch surjektiv, nämlich durch surjektive Einschränkung der Funktion f_n -
wie im mathematischen Satz behauptet.

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch.

Hast Du meine folgende Definition berücksichtigt?
Definition. Surjektive Einschränkung
Seien F eine Funktion mit F: X -> Y, und X' \subseteq X. Dann heißt die
Funktion F': X' -> F(X'), x \mapsto F(x) surjektive Einschränkung der
Funktion F auf die Menge X'.

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch. Formuliert man sie so um,
dass man eine richtige Aussage erhaelt (naemlich durch Einschraenkung auf
das Bild als Wertebereich), so ist sie banal.

("Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich": Das ist keine Mathematik.
Deine "Einschränkung" ist eine Co-Einschränkung.)
Ich versteh's noch nicht. Mehr morgen.

[Hans Crauel]

Jürgen Will in Gemeinsamkeit mit "IV" schrieben

Hans Crauel schrieb

Waere es da nicht mal an der Zeit, dazu etwas nachzulesen? Schon Wikipedia
ist da gar nicht so schlecht (da erfaehrt man auch, dass die
Exponentialfunktion auf beliebigen Banach-Algebren definiert werden kann,
darunter auch quadratische Matrizen).

Nö, da sin(exp(x)) nur als Beispiel für eine zusammengsetzte Funktion dienen
sollte und da ich in meinen zu kreierenden allgemeinen mathematischen Sätzen
grundsätzlich keine Aussagen zu konkreten DB oder WB machen will wenn das
nicht erforderlich ist.

Dann kreiert man schoen, halt ohne Nachlesen und ohne Sachkenntnis.

Post by IV
"Seien f_1,...,f_n beliebige Funktionen, und sei F eine Funktion mit F(z)
= f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...)). Dann ist F = f'_n o f'_{n-1} o ...
f'_2 o f'_1, worin für alle i mit 1 \leq i \leq n f'_i eine surjektive
Einschränkung der Funktion f_i ist."

Die Aussage ist falsch, wie F : R -> R, F(x) = exp(x^3), zeigt.

Das zeigt mir gar nichts. Kannst Du bitte erklären was Du meinst? (Welches
z. B. sind bei Dir die DB und WB der Gliedfunktionen?)

Ihr habt doch gerade gesagt, dass in den zu kreiernden Saetzen
grundsaetzlich keine Aussagen zu konkrekten Definitionsgebieten oder
Wertebereichen gemacht werden, wenn dies nicht erforderlich ist.
Erforderlich ist es hier nur fuer die durch F(x) = exp(x^3) gegebene
Funktion F : R -> R.
Ihr moechtet nun die "surjektiven Einschraenkungen" der Funktionen
f_i angeben.

Sie ist immer richtig, wenn F : X -> Y surjektiv ist, naemlich mit n = 1
und f_1 = F (oder auch mit n = 2 und f_1 = F, f_2 = id_Y bzw. f_1 = id_X,
f_2 = F).

Das "naemlich" verstehe ich noch nicht. Könntest Du bitte genauer sagen
welchen der beiden Nebensätze Du meinst?

Da ist nur ein Nebensatz: "naemlich mit n = 1 und f_1 = F".
In der Klammer steht ein Zusatz. Der wird vom "naemlich"
allerdings ebenfalls erfasst; es sind mithin eigentlich
zwei - oder sogar genauer drei - "naemlich".

Sie ist damit auch fuer F : X -> Y, X und Y beliebige Mengen, richtig,
wenn man auf das Bild von F einschraenkt, also die Aussage fuer F : X ->
F(X) formuliert, denn dies ist surjektiv.

Alles In Deutsch: Na, und wenn man die äußerste Gliedfunktion, f_n,
surjektiv einschränkt, also ihren WB auf ihren BB einschränkt, hat man F
doch surjektiv, nämlich durch surjektive Einschränkung der Funktion f_n -
wie im mathematischen Satz behauptet.

Nein. Die Funktion F ist als solche da, mit Definitionsgebiet und
Wertebereich.

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch.

Hast Du meine folgende Definition berücksichtigt?
Definition. Surjektive Einschränkung
Seien F eine Funktion mit F: X -> Y, und X' \subseteq X. Dann heißt die
Funktion F': X' -> F(X'), x \mapsto F(x) surjektive Einschränkung der
Funktion F auf die Menge X'.

Selbstverstaendlich. Schraenkt man den Wertebereich einer Funktion
f : X -> Y auf f(X) ein, so ist die daraus entstehende, meist wieder
mit f bezeichnete Funktion f : X -> f(X) surjektiv.
Diese Feststellung laesst sich fuer die Einschraenkung von f auf
eine beliebige Teilmenge X' von X treffen. Es mag dahingestellt
bleiben, ob man fuer sowas das Wortungetuem `surjektive
Einschraenkung' verwenden will und dies nicht besser und klarer als
"Einschraenkung von f auf X' mit Wertebereich f(X')" bezeichnet.

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch. Formuliert man sie so um,
dass man eine richtige Aussage erhaelt (naemlich durch Einschraenkung
auf das Bild als Wertebereich), so ist sie banal.

("Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich": Das ist keine
Mathematik.

Was meint ihr da?

Deine "Einschränkung" ist eine Co-Einschränkung.)

Lall.

Hans

[IV]

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel

Post by IV
"Seien f_1,...,f_n beliebige Funktionen, und sei F eine Funktion mit
F(z) = f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...)). Dann ist F = f'_n o f'_{n-1}
o ... f'_2 o f'_1, worin für alle i mit 1 \leq i \leq n f'_i eine
surjektive Einschränkung der Funktion f_i ist."

Die Aussage ist falsch, wie F : R -> R, F(x) = exp(x^3), zeigt.

Kannst Du bitte erklären was Du meinst? (Welches z. B. sind bei Dir die
DB und WB der Gliedfunktionen?)

Erforderlich ist es hier nur fuer die durch F(x) = exp(x^3) gegebene
Funktion F : R -> R.
nun die "surjektiven Einschraenkungen" der Funktionen f_i angeben

Kannst Du bitte sagen, warum das Beispiel ein Gegenbeispiel für meine
Behauptung ist?

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Die Aussage ist falsch, wie F : R -> R, F(x) = exp(x^3), zeigt.
...
Sie ist immer richtig, wenn F : X -> Y surjektiv ist, naemlich mit n = 1
und f_1 = F (oder auch mit n = 2 und f_1 = F, f_2 = id_Y bzw. f_1 =
id_X, f_2 = F).

Das "naemlich" verstehe ich noch nicht. Könntest Du bitte genauer sagen
welchen der beiden Nebensätze Du meinst?

es sind mithin eigentlich zwei - oder sogar genauer drei - "naemlich"

Ich verstehe Folgendes: Die Aussage ist immer richtig, wenn F : X -> Y
surjektiv ist.
Ist F genau dann surjektiv, wenn Deine hinter dem "naemlich" genannten
Bedingungen erfüllt sind? Oder sind Deine hinter dem "naemlich" genannten
Bedingungen lediglich Beispiele dafür, daß F surjektiv ist?

Post by Hans Crauel

Sie ist damit auch fuer F : X -> Y, X und Y beliebige Mengen, richtig,
wenn man auf das Bild von F einschraenkt, also die Aussage fuer F : X ->
F(X) formuliert, denn dies ist surjektiv.
Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch.

Es tut mir leid, aber solche Antworten bringen mir nicht allzuviel: ich als
Laie bin einfach nicht in der Lage, zu erkennen, wie Du zu dieser Aussage
kommst.
Könntest Du sagen, wie Du zu Deiner Aussage kommst?
Ich hatte mir das folgendermaßen gedacht.
Alles in Deutsch, nicht in Mathematisch:
F kann als zusammengesetzte Funktion dargestellt werden, aber auch als
Komposition. Die Funktion selbst ist dieselbe, beides sind nur
unterschiedliche Darstellungen.
Da ich beweisen möchte, daß die partielle Umkehrfunktion einer Funktion F
oben die Komposition partieller Umkehrfunktionen der Gliedfunktionen in
umgekehrter Reihenfolge ist, benötige ich eine Darstellung der
zusammengesetzten Funktion oben als Komposition mit surjektiven Gliedern.
Dazu schränke ich die Gliedfunktionen auf die Definitionsbereiche in der
Komposition ein und mache die Einschränkungen surjektiv.
Was ist an dieser Idee falsch?

Post by Hans Crauel

Definition. Surjektive Einschränkung
Seien F eine Funktion mit F: X -> Y, und X' \subseteq X. Dann heißt die
Funktion F': X' -> F(X'), x \mapsto F(x) surjektive Einschränkung der
Funktion F auf die Menge X'.

Es mag dahingestellt bleiben, ob man fuer sowas das Wortungetuem
`surjektive Einschraenkung' verwenden will und dies nicht besser und
klarer als "Einschraenkung von f auf X' mit Wertebereich f(X')"
bezeichnet.

Den Begriff "surjektive Einschränkung" gibt's im Internet. Ich habe aber
keine Definition dazu gefunden. Könnte damit vielleicht etwas Anderes
gemeint sein als der von mir definierte Begriff?

Post by Hans Crauel

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch. Formuliert man sie so um,
dass man eine richtige Aussage erhaelt (naemlich durch Einschraenkung auf
das Bild als Wertebereich), so ist sie banal.

Auch banale Zusammenhänge müssen festgestellt werden.
Nicht für jeden ist banal was für andere banal ist.

Post by Hans Crauel

("Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich": Das ist keine Mathematik.

Was meint ihr da?

(Deine "Einschränkung" ist eine Co-Einschränkung.)

Jemand hatte hier an anderer Stelle an mich geschrieben: "Das ist keine
Mathematik." Da es hier um Mathematik geht, sollte ich jedes Substantiv,
jedes Verb und jedes Adjektiv mathenmatisch definieren.
Deshalb mein Einwurf: "Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich" ist
nicht definiert. Der Begriff "Einschraenkung" ist schon vergeben. Außerdem
ist Deine "Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich" keine
Einschränkung, sondern eine Co-Einschränkung.

[Hans Crauel]

Jürgen Will und/oder "IV" schrieben

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel

Post by IV
"Seien f_1,...,f_n beliebige Funktionen, und sei F eine Funktion mit
F(z) = f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...)). Dann ist F = f'_n o f'_{n-1}
o ... f'_2 o f'_1, worin für alle i mit 1 \leq i \leq n f'_i eine
surjektive Einschränkung der Funktion f_i ist."

Die Aussage ist falsch, wie F : R -> R, F(x) = exp(x^3), zeigt.

Kannst Du bitte erklären was Du meinst? (Welches z. B. sind bei Dir die
DB und WB der Gliedfunktionen?)

Erforderlich ist es hier nur fuer die durch F(x) = exp(x^3) gegebene
Funktion F : R -> R.

Wozu loescht ihr die relevanten Aussagen?
Ihr stellt eine allgemeine Behauptung auf und verlangt, dass diese
fuer euch bewiesen wird. Ihr habt also die Behauptung an diversen
Sonderfaellen ueberprueft und stets fuer richtig befunden, denn
sonst wuerde doch niemand auf die Idee kommen, dass es sich um
einen allgemeingueltigen Sachverhalt handeln wuerde.

Fuer den oben genannten Sonderfall solltet ihr damit doch nun
auch in der Lage sein, eure Behauptung zu ueberpruefen. Trifft
die von euch aufgestellte Behauptung fuer die durch F(z) = exp(z^3)
gegebene Funktion F : R -> R zu?
Um das zu verifizieren, moechtet ihr nun die "surjektiven
Einschraenkungen der Funktionen f_i" fuer diesen Fall angeben.

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by Hans Crauel
[Die Aussage] ist immer richtig, wenn F : X -> Y surjektiv ist,
naemlich mit n = 1 und f_1 = F (oder auch mit n = 2 und f_1 = F,
f_2 = id_Y bzw. f_1 = id_X, f_2 = F).

Ich verstehe Folgendes: Die Aussage ist immer richtig, wenn F : X -> Y
surjektiv ist.

So ist es. Das ist eine Wiederholung der Feststellung.
Diese Feststellung wird im weiteren dann "bewiesen".

Post by IV
Ist F genau dann surjektiv, wenn Deine hinter dem "naemlich" genannten
Bedingungen erfüllt sind?

Versteht ihr denn kein Deutsch? Da werden keine Bedingungen genannt.
Da wird festgestellt, mit welchen (der offenkundig nicht eindeutig
bestimmten) n und f_i, i von 1 bis n, die Aussage wahr ist, sofern
die Bedingung "f : X -> Y surjektiv" erfuellt ist.

Post by IV
Oder sind Deine hinter dem "naemlich" genannten
Bedingungen lediglich Beispiele dafür, daß F surjektiv ist?

Ihr versteht offenbar wirklich kein Deutsch.

Post by IV

Post by Hans Crauel

Insgesamt also: Die Aussage ist i.a. falsch.

Es tut mir leid, aber solche Antworten bringen mir nicht allzuviel: ich als
Laie bin einfach nicht in der Lage, zu erkennen, wie Du zu dieser Aussage
kommst.

Dafuer muss man einfach nur Deutsch verstehen.

Das Geschwaetz mit Co-Einschraenkungen, surjektiven Einschraenkungen
und dergleichen mehr hilft nicht weiter, wenn das Verstaendnis
fehlt. So ein leeres Wortgeklingel hat auch nichts mit "mathematisch
definieren" zu tun. Dafuer braucht es Verstaendnis und Erfassen von
inhaltlichen Zusammenhaengen. Hat man das einmal, dann kann man die
Zusammenhaenge auch formulieren. Worthuelsengeklapper ist da nicht
nur unnuetz, sondern sogar hinderlich.

Post by IV

Post by Hans Crauel

("Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich": Das ist keine Mathematik.

Was meint ihr da?

(Deine "Einschränkung" ist eine Co-Einschränkung.)

Genau sowas meine ich.

Post by IV
Deshalb mein Einwurf: "Einschraenkung auf das Bild als Wertebereich" ist
nicht definiert. Der Begriff "Einschraenkung" ist schon vergeben.

Quaddeldikwack.

Hans

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Ich möchte eigentlich keine Mathematik betreiben,

Dann lass' es doch.

Tschüssie

hs

[Hans Crauel]

JÃŒrgen "IV" Will schrieb

"Die Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion
sin auf die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition,
denn diese ist nur fÃŒr den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert,
was hier im allgemeinen Fall nicht immer erfÃŒllt ist.

Also noch einmal: Wann ist "codom(exp)" nicht Teilmenge von "dom(sin)"?
Auf welchen Teilmengen von R, C (oder auch R^{d\times d}) ist Sinus
nicht definierbar?

Anmerkung: exp(R) = (0,infty), exp(C) = C \ {0}.

Hans

[IV]

Post by Hans Crauel

"Die Funktion sin(exp(x)) ergibt sich durch Anwendung der Funktion sin
auf die Funktion exp". Und damit meint man nicht die Komposition, denn
diese ist nur für den Fall codom(exp) \subseteq dom(sin) definiert, was
hier im allgemeinen Fall nicht immer erfüllt ist.

Also noch einmal: Wann ist "codom(exp)" nicht Teilmenge von "dom(sin)"?
Auf welchen Teilmengen von R, C (oder auch R^{d\times d}) ist Sinus nicht
definierbar?
Anmerkung: exp(R) = (0,infty), exp(C) = C \ {0}.

sin steht hier für irgendeine "beliebige" Funktion f mit f: x |-> sin(x).
exp steht hier für irgendeine (in Deutsch:) beliebige Funktion g mit g: x
|-> exp(x).
Die DB und WB dieser Funktionen sind (in Deutsch:) frei wählbar.

[Hans Crauel]

Jürgen Will aka "IV" schrieb

Hans Crauel

Post by Hans Crauel
Also noch einmal: Wann ist "codom(exp)" nicht Teilmenge von "dom(sin)"?
Auf welchen Teilmengen von R, C (oder auch R^{d\times d}) ist Sinus nicht
definierbar?
Anmerkung: exp(R) = (0,infty), exp(C) = C \ {0}.

sin steht hier für irgendeine "beliebige" Funktion f mit f: x |-> sin(x).
exp steht hier für irgendeine (in Deutsch:) beliebige Funktion g mit g: x
|-> exp(x).

Die Exponentialfunktion exp bzw. die Sinus-Funktion sin werden
gemeinhin als durch die entsprechenden Potenzreihen in ihrem
Konvergenzkreis definiert verstanden, und nicht als "beliebige
Funktionen". Wer Bezeichnungen anders verwendet als gemeinhin
ueblich ist gehalten, dies entsprechend zu kennzeichnen.

Die Verwendung der Bezeichnungen codom(exp) bzw. dom(sin) mit
der Vorgabe

Die DB und WB dieser Funktionen sind (in Deutsch:) frei wählbar.

ist grob missbraeuchlich.

Hans

[H0Iger SchuIz]

Ah.

Post by IV
"Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Soso. Jetzt ist's das Produkt nicht mehr die Summe. In dem, was Jürgen
die "physikalische Sprechweise" nennt, macht das aber keinen
Unterschied. Das ist alles "zusammengesetzt". Wozu sollte diese
Sprechweise überhaupt gut sein. Die Terme x+e^x und xe^x sind doch genau
genug.

hs

[IV]

Post by IV
"Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Das ist alles "zusammengesetzt". Wozu sollte diese Sprechweise überhaupt
gut sein.

Um in der Sprache der Anwender(Zielgruppe zu sprechen.

Die Terme x+e^x und xe^x sind doch genau genug.

Aber nicht, wenn man über zusammengesetzte Funktionen sprechen möchte. Man
muß sein mathematisches Objekt ja schließlich benennen.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by IV
"Die Funktion xe^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Das ist alles "zusammengesetzt". Wozu sollte diese Sprechweise überhaupt
gut sein.

Um in der Sprache der Anwender(Zielgruppe zu sprechen.

Ah, dann hat das wohl nichts mit Mathematik zu tun.

Post by IV

Die Terme x+e^x und xe^x sind doch genau genug.

Aber nicht, wenn man über zusammengesetzte Funktionen sprechen möchte. Man
muß sein mathematisches Objekt ja schließlich benennen.

Die Terme x+e^x und xe^x sind doch genau genug.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Warum kommt denn in dieser "Sprechweise" die Summe nicht vor?

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Warum kommt denn in dieser "Sprechweise" die Summe nicht vor?

Diese Frage ist nicht beantwortbar, da sie keinen Sinn ergibt.
In der physikalischen Sprechweise
(https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen) kommt die
Summe auch vor.
Nur geht es hier nicht allein um die Summe, sondern um zusammengesetzte
Funktionen und zusammengesetzte Funktionsterme. Allgemeines behandelt man
passend mit allgemeinen Begriffen.
Deshalb spreche ich hier (und Liouville und Ritt) nicht von der Summe,
sondern von algebraischen Funktionen.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Warum kommt denn in dieser "Sprechweise" die Summe nicht vor?

Diese Frage ist nicht beantwortbar, da sie keinen Sinn ergibt.

Doch, durchaus. Dass der Sinn sich nicht jedem erschließt, nehme ich zur
Kenntnis.

Post by IV
In der physikalischen Sprechweise
(https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen) kommt die
Summe auch vor.
Nur geht es hier nicht allein um die Summe, sondern um zusammengesetzte
Funktionen und zusammengesetzte Funktionsterme. Allgemeines behandelt man

Wer?

Post by IV
passend mit allgemeinen Begriffen.
Deshalb spreche ich hier (und Liouville und Ritt) nicht von der Summe,
sondern von algebraischen Funktionen.

Macht ihr.

hs

[Hans Crauel]

IV schrieb

"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt [...]

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck
"die Funktion x"?

Hans

[IV]

"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt [...]

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen
"Die Funktion x" ist eine Familie von Funktionen.

[Hans Crauel]

Jürgen "IV" Will schrieb

Post by IV

"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt [...]

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen

Da findet sich nichts.

Post by IV
"Die Funktion x" ist eine Familie von Funktionen.

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck ""die
Funktion x" ist eine Familie von Funktionen"?

Hans

[IV]

Post by Hans Crauel

Post by IV

Post by IV
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen

Da findet sich nichts.

Physikalische Sprechweise, wird auch heute noch benutzt: "die Funktion y =
f(x)". y ist die abhängige Größe. In "die Funktion x" ist y = x. Anderes
Besipiel: "die Funktion x^2".

Post by Hans Crauel

Post by IV
"Die Funktion x" ist eine Familie von Funktionen.

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck ""die
Funktion x" ist eine Familie von Funktionen"?

"Funktionenfamilie" = "Menge von Funktionen"
https://de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik)
Ist das nicht einleuchtend? Dann muß es wieder von neuem beginnen mit
"Begriff für die Menge aller Einschränkungen einer Funktion gesucht"

[Hans Crauel]

Jürgen Will und IV schrieben

Hans Crauel schrieb

Post by Hans Crauel

Post by IV

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen

Da findet sich nichts.

Physikalische Sprechweise, wird auch heute noch benutzt: "die Funktion
y = f(x)". y ist die abhängige Größe. In "die Funktion x" ist y = x.
Anderes Besipiel: "die Funktion x^2".

Sind physikalische Sprechweisen denn sinnvoll, um mathematische
Fragen zu klaeren? Scheint mir doch fraglich.
Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck
"In "die Funktion x" ist y = x"?

Post by Hans Crauel

Post by IV
"Die Funktion x" ist eine Familie von Funktionen.

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck
""die Funktion x" ist eine Familie von Funktionen"?

"Funktionenfamilie" = "Menge von Funktionen"
https://de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik)

Das sagt mir ueberhaupt nichts. Was bedeutet nun der Ausdruck
"die Funktion x"? Bei mir soll x die Termvariable sein.
Natuerlich kann x eine Funktion sein, etwa eine lineare Funktion.
Soll dann aber x + exp(x) wieder eine lineare Funktion sein?
Warum? Geht das? Was meint ihr dazu?

Ist das nicht einleuchtend?

Nein.

Dann muß es wieder von neuem beginnen mit "Begriff für die
Menge aller Einschränkungen einer Funktion gesucht"

Verstehe ich nicht. Was hat das mit meiner Frage zu tun?
Koennt ihr die denn nicht einfach mal direkt beantworten
statt immer nur herumzulavieren?

Hans

[IV]

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

Anderes Besipiel: "die Funktion x^2".

Was bedeutet nun der Ausdruck "die Funktion x"? Bei mir soll x die
Termvariable sein.
Natuerlich kann x eine Funktion sein

x ist keine Funktion, sondern ein Funktionsterm.

Was bedeutet der Ausdruck "die Funktion x"?
...
"Funktionenfamilie" = "Menge von Funktionen"
https://de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik)
Ist das nicht einleuchtend?

Nein.

Dann muß es wieder von neuem beginnen mit "Begriff für die Menge aller
Einschränkungen einer Funktion gesucht"

Verstehe ich nicht. Was hat das mit meiner Frage zu tun?

Obwohl die Anwender, meine Zielgruppe, sagen "die Funktion x^2", wird diese
Sprechweise hier nicht verstanden. Da mindestens Dir nicht einleuchtet, daß
mit der alleinigen Angabe von x^2 die Menge aller Funktionen mit der
Zuordnungsvorschrift x |-> x^2 (also eine Funktionenfamilie) gemeint ist,
was die Menge aller Einschränkungen der Funktion f: DB -> WB, x |-> x^2 ist,
benötige ich, um mich in den von mir zu zu erarbeitenden mathematischen
Sätzen kurz und verständlich ausdrücken zu können, einen anderen Begriff für
die Menge aller Einschränkungen einer Funktion als den Begriff
Funktionenfamilie.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

Anderes Besipiel: "die Funktion x^2".

Was bedeutet nun der Ausdruck "die Funktion x"? Bei mir soll x die
Termvariable sein.
Natuerlich kann x eine Funktion sein

x ist keine Funktion, sondern ein Funktionsterm.

Was bedeutet der Ausdruck "die Funktion x"?
...
"Funktionenfamilie" = "Menge von Funktionen"
https://de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik)
Ist das nicht einleuchtend?

Nein.

Dann muß es wieder von neuem beginnen mit "Begriff für die Menge aller
Einschränkungen einer Funktion gesucht"

Verstehe ich nicht. Was hat das mit meiner Frage zu tun?

Obwohl die Anwender, meine Zielgruppe,

Zielgruppe für was? Für dumme Scheiße?

Post by IV
sagen "die Funktion x^2", wird diese
Sprechweise hier nicht verstanden.

Es ist nicht relevant, ob die dumme Scheiße verstanden wird. Es ist
einfach mathematisch unsinnig.

Post by IV
Da mindestens Dir nicht einleuchtet, daß
mit der alleinigen Angabe von x^2 die Menge aller Funktionen mit der
Zuordnungsvorschrift x |-> x^2 (also eine Funktionenfamilie) gemeint ist,

Daran gibt es nichts einzuleuchten. Das ist einfach Blödsinn. den
Begriff "Familie" verwendet der Mathematik-Verweigerer bar jeder
Kenntnis seiner Bedeutung.

Das so ein Term eine Menge von Funktionen repräsentieren soll (auf
welche Art auch immer), ist überhaupt nicht klar. Es passt auch nicht zu
anderen Ad-hoc-Behauptungen. Erst ist das die Sprechweise des
"Anwenders" (wer auch immer das sein soll), dann sind gelgentlich mal
Definitions- und Wertebereich egal, dann soll's die "physikalische
Sprechweise" sein. Und jetzt ist der nächste Hüftschuss, dass damit ja
'ne Menge gemeint sei. So'n Blödsinn.

Post by IV
was die Menge aller Einschränkungen der Funktion f: DB -> WB, x |-> x^2 ist,

Das ist auch völlig unsinnig. Da kein Definitions- und Wertebereich
gegeben ist, kann man auch nichts einschränken. Die Menge aller
Funktionen mit einem bestimmten Funktionsterm dürfte i. A. größer sein
als die Menge der Einschränkungen einer gegebenen Funktion. Plappern
ohne denken hilft ooch nicht.

Post by IV
benötige ich, um mich in den von mir zu zu erarbeitenden mathematischen
Sätzen

Das schreibt uns ein Mann, der gar keine Mathematik betreiben möchte.
Aber "mathematische Sätze" möchte er "erarbeiten". Nee, is klaa.

Post by IV
kurz und verständlich ausdrücken zu können, einen anderen Begriff für
die Menge aller Einschränkungen einer Funktion als den Begriff
Funktionenfamilie.

Man könnte einfach "Menge aller Einschränkungen einer Funktion"
schreiben, wenn´man das meint. Aber das ist wohl für den Anwender zu
einfach.

[IV]

Post by H0Iger SchuIz
dumme Scheiße

sci.math: Proof wanted for restriction of concatenated functions to a
composition news:plc73m$ln7$***@news.albasani.net

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by H0Iger SchuIz
dumme Scheiße

sci.math: Proof wanted for restriction of concatenated functions to a

Blabla.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz
dumme Scheiße

sci.math: Is there a word for all functions with the same function term? news:pl1tgq$9js$***@news.albasani.net

[H0Iger SchuIz]

Post by H0Iger SchuIz
dumme Scheiße

Steht da was Interessantes? Du kannst gerne erzählen was. Ansonsten ist
dieser Verweis wohl überflüssig.

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by H0Iger SchuIz
dumme Scheiße

Steht da was Interessantes? Du kannst gerne erzählen was. Ansonsten ist
dieser Verweis wohl überflüssig.

Da steht dumme Scheiße.
1.) Da versteht keiner meine Argumentation, x^2 ist eine Menge von
Funktionen, aber keine Funktion, da ja kein DB und kein WB angegeben ist.
2.) Da hat man mir den Begriff "Familie von Funktionen" für die Menge aller
Einschränkungen einer Funktion empfohlen - neben vielen anderen, meiner
Meinung nach dafür unpassenden Begriffen.
Das soll nur zeigen, daß nicht alles von allen ebenso gesehen wird.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by H0Iger SchuIz

Post by H0Iger SchuIz
dumme Scheiße

Steht da was Interessantes? Du kannst gerne erzählen was. Ansonsten ist
dieser Verweis wohl überflüssig.

Da steht dumme Scheiße.

Die kann ich ja auch hier lesen, da muss ich nicht da kucken. So what?

Post by IV
1.) Da versteht keiner meine Argumentation,

Ach, du hast eine "Argumentation"?

Post by IV
x^2 ist eine Menge von
Funktionen,

Ich hätt's für 'nen Term gehalten. Zur Interpretation als Menge von
Funktionen gab's hier ja schon ein paar Andeutungen, aber wie immer
nichts Konkretes. Im Übrigen ist "kann als Menge von Funktionen
verstanden werden" oder "repräsentiert eine Menge von Funktionen" etwas
anderes als "ist eine Menge von Funktionen". Hier wäre dann wieder
sprachliche Genauigkeit gefragt, bevor man überhaupt in mathematische
Gefilde vorstößt.

Post by IV
aber keine Funktion, da ja kein DB und kein WB angegeben ist.

Es ist noch nicht mal eine Funktionsvorschrift angegeben.

Post by IV
2.) Da hat man mir den Begriff "Familie von Funktionen" für die Menge aller
Einschränkungen einer Funktion empfohlen - neben vielen anderen, meiner
Meinung nach dafür unpassenden Begriffen.

In welchem Sinne "unpassend". Jede Zeichenfolge, ie noch nicht
anderweitig verwendet wird, eignet sich als neuer Begriff. "Familie" ist
übrigens ein Begriff, der in der Mathematik schon Verwendung findet.
Deshalb empfiehlt sich der nun gerade nicht.

Post by IV
Das soll nur zeigen, daß nicht alles von allen ebenso gesehen wird.

Ach was?

hs

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by Hans Crauel

Post by IV

Post by IV
"Die Funktion x+e^x ist aus den Funktionen x und e^x zusammengesetzt

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck "die
Funktion x"?

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Sprechweisen

Da findet sich nichts.

Physikalische Sprechweise, wird auch heute noch benutzt: "die Funktion y =
f(x)". y ist die abhängige Größe. In "die Funktion x" ist y = x. Anderes
Besipiel: "die Funktion x^2".

Post by Hans Crauel

Post by IV
"Die Funktion x" ist eine Familie von Funktionen.

Bei mir soll x die Termvariable sein. Was bedeutet der Ausdruck ""die
Funktion x" ist eine Familie von Funktionen"?

"Funktionenfamilie" = "Menge von Funktionen"

So'n Scheiß. Von der missbräuchlichen Verwendung des Gleichzeichens mal
abgesehen, ist eine Familie nicht das gleiche wie eine Menge, wie man
dem nachfolgenden verlinkten Artikel entnehmen kann.

Post by IV
https://de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik)

Wozu müssen denn die Amateure ständig mit Begriffen, die sie nicht
verstanden haben, um sich schmeißen?

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz
Wozu müssen denn die Amateure ständig mit Begriffen, die sie nicht
verstanden haben, um sich schmeißen?

Na, weil die Mathematiker keine passenden Begriffe haben.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV

Post by H0Iger SchuIz
Wozu müssen denn die Amateure ständig mit Begriffen, die sie nicht
verstanden haben, um sich schmeißen?

Na, weil die Mathematiker keine passenden Begriffe haben.

So 'ne dumme Scheiße.

hs