Parabole

[François Guillet]

J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.

Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre
est libre.

Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?

Merci par avance

[Serganz]

Je ne pense pas qu’une parabole d’axe non vertical soit la courbe représentative d’une fonction f.

Serganz.

[François Guillet]

Post by Serganz
Je ne pense pas qu’une parabole d’axe non vertical soit la courbe
représentative d’une fonction f.
Serganz.

dans ce cas l'équation se présenterait sous quelle forme ?

[Samuel DEVULDER]

On Wed, 28 Jun 2017 11:29:54 +0200, François

Post by François Guillet
dans ce cas l'équation se présenterait sous quelle forme ?

De plein de façon (parametrique , par partie , etc) mais ma préférée
est la forme implicite P(x,y)=0 avec P un polynôme de degré 2. Si tu
connais le foyer et la direction de la parabole alors ça me semble
aisé à décrire implicitement.

[Samuel DEVULDER]

Je précise: soit F le foyer de la parabole, D la droite directrice
(pente k) les point P de la parabole vérifient dist(P,D) = dist(P,
F). Comme tu connais un point P1 (x1 y1) appartenant à la parabole tu
as tout ce qu'il faut pour résoudre.

[François Guillet]

Je précise: soit F le foyer de la parabole, D la droite directrice (pente k)
les point P de la parabole vérifient dist(P,D) = dist(P, F). Comme tu connais
un point P1 (x1 y1) appartenant à la parabole tu as tout ce qu'il faut pour
résoudre.

Je m'en doutais bien que j'avais tout ce qu'il faut, comme l'acheteur
d'une auto qui la recevrait du fabricant, fournie en kit. On a toutes
les pièces, yaka la monter. :-)

C'est la mise en pratique qui me pose problème. Dans ma grande
modestie, je vais peut-être finir par faire comme Einstein : engager un
mathématicien à temps plein... quand j'aurai les fonds.

[ast]

Je précise: soit F le foyer de la parabole, D la droite directrice (pente k) les point P de la
parabole vérifient dist(P,D) = dist(P, F). Comme tu connais un point P1 (x1 y1) appartenant à la
parabole tu as tout ce qu'il faut pour résoudre.

C'est l'axe de la parabole qui a une pente k, pas la directrice

[Samuel DEVULDER]

Post by ast
C'est l'axe de la parabole qui a une pente k, pas la directrice

Ça ne change pas grand chose. Les deux droites étant
perpendiculaires. La pente de l'une se retrouve dans l'équation
cartésienne de l'autre.

À++ Sam.

[ast]

Post by ast
C'est l'axe de la parabole qui a une pente k, pas la directrice

Ça ne change pas grand chose. Les deux droites étant perpendiculaires. La pente de l'une se
retrouve dans l'équation cartésienne de l'autre.
À++ Sam.

oui, j'ai précisé pour que Guillet ne se lance pas dans
des calculs inutiles

[Michel Talon]

Post by François Guillet

Post by Serganz
Je ne pense pas qu’une parabole d’axe non vertical soit la courbe
représentative d’une fonction f.
Serganz.

dans ce cas l'équation se présenterait sous quelle forme ?

Equation générale d'une conique

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

Pour une parabole on a b^2-4ac=0, donc le terme quadratique est de la
forme (gx+hy)^2 (donc g^2=a h^2=c et 2gh=b d'où b^2-4ac=0).

Finalement la forme générale d'une parabole est

(y+ax)^2+bx+cy+d=0

(dans certains cas ceci dégénère en produit de deux droites).

Evidemment le remplacement y^2 -> (y+ax)^2 correspond à la rotation de
l'axe de symétrie. Il est donc naturel de considérer Y=y+ax et X=x-ay de
sorte que les droites X=0 et Y=0 sont perpendiculaires (pentes a et
-1/a). Et donc x=(X+aY)/(1+a^2) et y=(Y-aX)/(1+a^2) En reportant on a
une équation de la forme

Y^2+eX+fY+g=0= (Y+1/2f)^2+eX +g-1/4f^2=0

ce qui est l'équation traditionnelle de la parabole. On peut translater
Y par Y+1/2f et X par X+ (g-1/4f^2)/e pour avoir Y'^2+eX'=0. Facile
d'identifier l'axe (X'=0) et le sommet (X'=Y'=0).

[François Guillet]

Post by Michel Talon

Post by François Guillet

Post by Serganz
Je ne pense pas qu’une parabole d’axe non vertical soit la courbe
représentative d’une fonction f.
Serganz.

dans ce cas l'équation se présenterait sous quelle forme ?

Equation générale d'une conique
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
Pour une parabole on a b^2-4ac=0, donc le terme quadratique est de la forme
(gx+hy)^2 (donc g^2=a h^2=c et 2gh=b d'où b^2-4ac=0).
Finalement la forme générale d'une parabole est
(y+ax)^2+bx+cy+d=0
(dans certains cas ceci dégénère en produit de deux droites).
Evidemment le remplacement y^2 -> (y+ax)^2 correspond à la rotation de l'axe
de symétrie. Il est donc naturel de considérer Y=y+ax et X=x-ay de
sorte que les droites X=0 et Y=0 sont perpendiculaires (pentes a et -1/a). Et
donc x=(X+aY)/(1+a^2) et y=(Y-aX)/(1+a^2) En reportant on a une équation de
la forme
Y^2+eX+fY+g=0= (Y+1/2f)^2+eX +g-1/4f^2=0
ce qui est l'équation traditionnelle de la parabole. On peut translater
Y par Y+1/2f et X par X+ (g-1/4f^2)/e pour avoir Y'^2+eX'=0. Facile
d'identifier l'axe (X'=0) et le sommet (X'=Y'=0).

Merci, cette façon de présenter les choses me "parle", elle colle bien
à ce que je cherche, je vais donc tenter immédiatement la mise en
pratique.

[Julien Arlandis]

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre
est libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.

Ce que je ferai c'est que je décrirai la parabole par morceaux avec deux
fonctions f1 et f2 :
x < a : f1(x) = a x^2 + b x + c
x >=a : f2(x) = a x^2 + b x + c

Et ensuite j'appliquerai une rotation du système de coordonnées sur
chacune des coordonnés :

X1 = x cos(θ) - f1(x) sin θ
Y1 = x sin(θ) + f1(x) sin θ

et

X2 = x cos(θ) - f2(x) sin θ
Y2 = x sin(θ) + f2(x) sin θ

à tester...

[Julien Arlandis]

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre
est libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.

Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
rotation du système de coordonnées comme ceci :

X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) sin θ


à tester...

[Julien Arlandis]

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre
est libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.

Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
rotation du système de coordonnées comme ceci :

X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ

où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.

à tester...

[François Guillet]

Post by Julien Arlandis

J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal, passe
par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné de
pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.
Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ
où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.
à tester...

J'ai essayé ça, partir de l'équation de la parabole avec sommet à
l'origine, axe vertical, puis translation/rotation ; sans en venir à
bout, c'est la galère.
Mais bon, il n'y a peut-être pas plus simple.

[Julien Arlandis]

Post by François Guillet

Post by Julien Arlandis

J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal, passe
par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné de
pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.
Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ
où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.
à tester...

J'ai essayé ça, partir de l'équation de la parabole avec sommet à
l'origine, axe vertical, puis translation/rotation ; sans en venir à
bout, c'est la galère.
Mais bon, il n'y a peut-être pas plus simple.

Je viens de tester avec matlab, ce que je te propose fonctionne.
Il restera juste à gérer la translation du système de coordonnées en
(a,b).

[François Guillet]

Post by Julien Arlandis

Post by François Guillet

Post by Julien Arlandis

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.
Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ
où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.
à tester...

J'ai essayé ça, partir de l'équation de la parabole avec sommet à
l'origine, axe vertical, puis translation/rotation ; sans en venir à bout,
c'est la galère.
Mais bon, il n'y a peut-être pas plus simple.

Je viens de tester avec matlab, ce que je te propose fonctionne.
Il restera juste à gérer la translation du système de coordonnées en (a,b).

La translation, c'est facile dans le principe mais moins quand on a
déjà une équation lourde. De plus a et k doivent être déterminés
ensuite en fonction d'autres critères.
L'équation générale d'une parabole n'existe pas "prête à l'emploi",
avec pour paramètres l'inclinaison, le sommet et le foyer ? Rien trouvé
sur le web.

[Julien Arlandis]

Post by François Guillet

Post by Julien Arlandis

Post by François Guillet

Post by Julien Arlandis

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.
Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ
où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.
à tester...

J'ai essayé ça, partir de l'équation de la parabole avec sommet à
l'origine, axe vertical, puis translation/rotation ; sans en venir à bout,
c'est la galère.
Mais bon, il n'y a peut-être pas plus simple.

Je viens de tester avec matlab, ce que je te propose fonctionne.
Il restera juste à gérer la translation du système de coordonnées en (a,b).

La translation, c'est facile dans le principe mais moins quand on a
déjà une équation lourde. De plus a et k doivent être déterminés
ensuite en fonction d'autres critères.
L'équation générale d'une parabole n'existe pas "prête à l'emploi",
avec pour paramètres l'inclinaison, le sommet et le foyer ? Rien trouvé
sur le web.

Non, car une parabole inclinée ne peut pas être représentée par une
fonction (pour un x donné tu vas te retrouver avec 2 y). C'est quoi le
problème d'utiliser une équation paramétrique, c'est pas plus
compliqué à coder qu'une fonction...

[François Guillet]

Post by Julien Arlandis

Post by François Guillet

Post by Julien Arlandis

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre
est libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante
devient multivaluée.
Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une
X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ
où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.
à tester...

J'ai essayé ça, partir de l'équation de la parabole avec sommet à
l'origine, axe vertical, puis translation/rotation ; sans en venir à
bout, c'est la galère.
Mais bon, il n'y a peut-être pas plus simple.

Je viens de tester avec matlab, ce que je te propose fonctionne.
Il restera juste à gérer la translation du système de coordonnées en (a,b).

La translation, c'est facile dans le principe mais moins quand on a déjà
une équation lourde. De plus a et k doivent être déterminés ensuite en
fonction d'autres critères.
L'équation générale d'une parabole n'existe pas "prête à l'emploi", avec
pour paramètres l'inclinaison, le sommet et le foyer ? Rien trouvé sur le
web.

Non, car une parabole inclinée ne peut pas être représentée par une fonction
(pour un x donné tu vas te retrouver avec 2 y).

C'est vrai seulement si l'inclinaison est supérieure à la pente des
asymptotes. Et de toute façon je n'utiliserai qu'une demi-parabole donc
le problème ne se posera pas.

C'est quoi le problème
d'utiliser une équation paramétrique, c'est pas plus compliqué à coder qu'une
fonction...

Les paramètres à trouver, c'est avant le codage.
y=f(x) est beaucoup plus pratique à utiliser ensuite. On dérive, on a
la pente. On intègre, on a la surface. On égalise f(x) et g(x), on a le
point d'intersection... C'est direct.

Quand je vois des droites notées ax + by + c = 0 quand on peut faire y
= mx+ k où on lit directement la pente et le point de coupure de l'axe
des x, je me dis que c'est quand même compliquer les choses...
(en plus dans les cours de lycée. Peut-être est-ce pour faciliter le
lien à la pure géométrie, mais il faut savoir ce qu'on fait, si c'est
de la géométrie analytique, nul besoin).

[Samuel DEVULDER]

On Wed, 28 Jun 2017 15:29:13 +0200, François

Post by François Guillet
C'est vrai seulement si l'inclinaison est supérieure à la pente des
asymptotes.

Tu confonds parabole et hyperbole. Les paraboles n'ont, manque de
bol, pas d'assymptotes.

À+ Sam

[François Guillet]

Post by Samuel DEVULDER
On Wed, 28 Jun 2017 15:29:13 +0200, François

Post by François Guillet
C'est vrai seulement si l'inclinaison est supérieure à la pente des
asymptotes.

Tu confonds parabole et hyperbole. Les paraboles n'ont, manque de bol, pas
d'assymptotes.
À+ Sam

Ok.
Et sur le fond ? Par exemple y=x² : dès que j'incline la parabole,
d'une valeur aussi faible qu'on veut, on pourra trouver un y qui
corresponde à 2 x ? Ou il y a un angle seuil ?

[Samuel DEVULDER]

On Wed, 28 Jun 2017 16:22:24 +0200, François

Post by François Guillet
Et sur le fond ? Par exemple y=x² : dès que j'incline la parabole,
d'une valeur aussi faible qu'on veut, on pourra trouver un y qui
corresponde à 2 x ?
Ou il y a un angle seuil ?

Pas d'assymptotes implique qu'il n'y a pas d'angle seuil sitôt
qu'elle penche un tout petit peu: Pour un x donné il y aura toujours
deux y possibles avec une parabole penchée (ie de directrice non
verticale).

Par symétrie x<~>y pour un y donné et une paraboles non du type x=y^2
(parabole de directrice horizontale) cela reste vrai aussi.

[François Guillet]

Post by Samuel DEVULDER
On Wed, 28 Jun 2017 16:22:24 +0200, François

Et sur le fond ? Par exemple y=x² : dès que j'incline la parabole, d'une
valeur aussi faible qu'on veut, on pourra trouver un y qui corresponde à 2
x ? Ou il y a un angle seuil ?

Pas d'assymptotes implique qu'il n'y a pas d'angle seuil sitôt qu'elle penche
un tout petit peu: Pour un x donné il y aura toujours deux y possibles avec
une parabole penchée (ie de directrice non verticale).
Par symétrie x<~>y pour un y donné et une paraboles non du type x=y^2
(parabole de directrice horizontale) cela reste vrai aussi.

Intéressant pour le néophite que je suis. On n'imagine pas ça du tout
quand on voit le début de la courbe avec les deux branches qui
s'écartent !

[ast]

Et sur le fond ? Par exemple y=x² : dès que j'incline la parabole, d'une valeur aussi faible
qu'on veut, on pourra trouver un y qui corresponde à 2 x ? Ou il y a un angle seuil ?

Pour un x donné il y aura toujours deux y possibles avec une parabole penchée (ie de directrice
non verticale).
Par symétrie x<~>y pour un y donné et une paraboles non du type x=y^2 (parabole de directrice
horizontale) cela reste vrai aussi.

Intéressant pour le néophite que je suis. On n'imagine pas ça du tout quand on voit le début de la
courbe avec les deux branches qui s'écartent !

Ton niveau en maths me surprend toi qui jongle avec des
concepts ardus en physique. Là on est au niveau lycée (2nd, 1ère)

Il est archi connu que les tangentes aux branches de la parabole
y=x² (par ex) tendent vers des verticales (dérivée 2x -> +oo) et
donc si on tourne un peu la parabole elle ne sera plus la courbe
représentative d'une fonction (deux valeurs y pour un seul x)

[François Guillet]

Post by ast

Post by Samuel DEVULDER
On Wed, 28 Jun 2017 16:22:24 +0200, François

Et sur le fond ? Par exemple y=x² : dès que j'incline la parabole, d'une
valeur aussi faible qu'on veut, on pourra trouver un y qui corresponde à
2 x ? Ou il y a un angle seuil ?

Pas d'assymptotes implique qu'il n'y a pas d'angle seuil sitôt qu'elle
penche un tout petit peu: Pour un x donné il y aura toujours deux y
possibles avec une parabole penchée (ie de directrice non verticale).
Par symétrie x<~>y pour un y donné et une paraboles non du type x=y^2
(parabole de directrice horizontale) cela reste vrai aussi.

Intéressant pour le néophite que je suis. On n'imagine pas ça du tout quand
on voit le début de la courbe avec les deux branches qui s'écartent !

Ton niveau en maths me surprend toi qui jongle avec des
concepts ardus en physique. Là on est au niveau lycée (2nd, 1ère)

C'est vrai que je me suis fait avoir comme un bleu avec le coup de
l'asymptote.

Post by ast
Il est archi connu que les tangentes aux branches de la parabole
y=x² (par ex) tendent vers des verticales (dérivée 2x -> +oo) et
donc si on tourne un peu la parabole elle ne sera plus la courbe
représentative d'une fonction (deux valeurs y pour un seul x)

Je n'ai pas pratiqué la géométrie depuis la fac, j'ai presque tout
oublié (et j'ai toujours préféré l'algèbre).
Je me souviens qu'à l'époque je me débrouillais pas mal avec les
intégrales triples, la théorie des résidus et autres joyeusetés, j'en
serais bien incapable aujourd'hui !
Grâce à la discussion, aux indications de Michel Talon, et à un traceur
d'équations où j'ai pu faire mes essais et que je trouve épatant
(https://www.desmos.com/calculator vraiment génial, rapide, même
l'analyseur syntaxique est remarquable), je suis quand même arrivé à ce
que je voulais.

[ast]

J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal, passe par des points qui
sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné de pente k, et elle
passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Si tu inclines une parabole, il me semble que la fonction correspondante devient multivaluée.
Tu peux le faire en coordonnées paramétriques, il suffit d'appliquer une rotation du système de
X(x) = x cos(θ) - f(x) sin θ
Y(x) = x sin(θ) + f(x) cos θ
où θ représente l'angle d'inclinaison de ta parabole.
à tester...

J'ai essayé ça, partir de l'équation de la parabole avec sommet à l'origine, axe vertical, puis
translation/rotation ; sans en venir à bout, c'est la galère.
Mais bon, il n'y a peut-être pas plus simple.

La méthode la plus simple selon moi est celle proposée
par Samuel DEVULDER

Je cite:

"Je précise: soit F le foyer de la parabole, D la droite directrice
les point P de la parabole vérifient dist(P,D) = dist(P, F).
Comme tu connais un point P1 (x1 y1) appartenant à la parabole
tu as tout ce qu'il faut pour résoudre."

Connaissant le sommet S, l'axe, et un point (x1, y1) de la parabole,
il ne doit pas être trop dur de trouver la droite directrice D et le
foyer F de la parabole.

D est orthogonale à l'axe, le foyer F est à mi chemin entre D et S
le point (x1, y1) est à égale distance de D et de F

Ensuite les points P de la parabole vérifient dist(P,D) = dist(P, F)

[MAIxxx]

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Déjà que pour y²=x on a y = +/- sqrt(x) est multivoque...

On se simplifie la vie en géométrie projective (sur C²) et coordonnées
homogènes.
Une conique c'est
a.X² + b.X.Y +c.Y² + e.X.T + f.Y.T +g.T² = 0
La parabole a un seul point à l'infini (T=0) réel.
a.X² + b.X.Y +c.Y² = 0 a une seule racine double en Y/X (ou X/Y) et
donc b²-4.a.c=0
(k.X + l.Y)² + e.X.T + f.Y.T + g.T² =0
En coordonnées cartésiennes x=X/T et y=Y/T
En coordonnées affines, on aura pour les paraboles
phi = psi² où phi et psi sont des formes linéaires de x et y . Il y a
dégénérescence en deux droites quand phi et psi sont colinéaires
et
ax+by+c = (cx+dy+e)² en cartésien

etc...
Rien n'oblige à privilégier y comme fonction de x ou inversement.

[François Guillet]

Post by MAIxxx

J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal, passe
par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné de
pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Déjà que pour y²=x on a y = +/- sqrt(x) est multivoque...
On se simplifie la vie en géométrie projective (sur C²) et coordonnées
homogènes.
Une conique c'est
a.X² + b.X.Y +c.Y² + e.X.T + f.Y.T +g.T² = 0
La parabole a un seul point à l'infini (T=0) réel.
a.X² + b.X.Y +c.Y² = 0 a une seule racine double en Y/X (ou X/Y) et donc
b²-4.a.c=0
(k.X + l.Y)² + e.X.T + f.Y.T + g.T² =0
En coordonnées cartésiennes x=X/T et y=Y/T
En coordonnées affines, on aura pour les paraboles
phi = psi² où phi et psi sont des formes linéaires de x et y . Il y a
dégénérescence en deux droites quand phi et psi sont colinéaires
et
ax+by+c = (cx+dy+e)² en cartésien
etc...
Rien n'oblige à privilégier y comme fonction de x ou inversement.

J'ignorais la "géométrie projective", c'est dire mon ignorance du
domaine. Ah le temps... il me faudrait une seconde vie.
Merci pour les précisions.

[MAIxxx]

Post by François Guillet

Post by MAIxxx

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est
incliné de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre
paramètre est libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

Déjà que pour y²=x on a y = +/- sqrt(x) est multivoque...
On se simplifie la vie en géométrie projective (sur C²) et coordonnées
homogènes.
Une conique c'est
a.X² + b.X.Y +c.Y² + e.X.T + f.Y.T +g.T² = 0
La parabole a un seul point à l'infini (T=0) réel.
a.X² + b.X.Y +c.Y² = 0 a une seule racine double en Y/X (ou X/Y) et
donc b²-4.a.c=0
(k.X + l.Y)² + e.X.T + f.Y.T + g.T² =0
En coordonnées cartésiennes x=X/T et y=Y/T
En coordonnées affines, on aura pour les paraboles
phi = psi² où phi et psi sont des formes linéaires de x et y . Il y
a dégénérescence en deux droites quand phi et psi sont colinéaires
et
ax+by+c = (cx+dy+e)² en cartésien
etc...
Rien n'oblige à privilégier y comme fonction de x ou inversement.

J'ignorais la "géométrie projective", c'est dire mon ignorance du
domaine. Ah le temps... il me faudrait une seconde vie.
Merci pour les précisions.

Ah, c'est un truc qu'on apprenait(jadis?) en math spé. Très intéressant
pour l'étude des courbes algébriques et plus puissant que la géométrie
analytique cartésienne "métrique" ordinaire.

C'est une généralisation de cette dernière où la notion de "distance"
perd son acuité, et où les outils sur le champ complexe simplifient
énormément le raisonnement (pas toujours quand même).

Certains résultats sont d'ailleurs assez exotiques, comme dire que la
parabole est une conique tangente à la droite de l'infini (:-) ou que
les cercles sont les coniques passant par les deux point I et J de
coordonnée (1,i,0) et (1,-i,0) de cette "droite"( d'équation homogène T=0 ).

Programme de l'agreg aussi ?

[remy]

Post by François Guillet
J'adore les cours... les paraboles sont à axe vertical ou horizontal,
passe par des points qui sont des entiers etc etc
pasras'lbol mais presque.
Dans la vraie vie, ma parabole a pour sommet (a,b), son axe est incliné
de pente k, et elle passe par un point (x1,y1). Tout autre paramètre est
libre.
Quelle est son équation sous la forme y=f(x) ?
Merci par avance

un petit truc rigolo

http://remyaumeunier.chez-alice.fr/pdf/four_parabole.pdf

a la fin il y a un fichier gnuplot avec les équations qui vont bien


remy